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1、第1章 复数与复变函数,1 复数,1.1.1 复数的基本概念,设 , 为两个任意实数,称形如 的数为复数,记为 ,其中 满足 ,称为虚数单位.实数 和 分别称为复数 的实部和虚部,记为 , . 各数集之间的关系可表示为,设 与 是两个复数.如果 ,则称 与 相等. 由定义可得: . 设 是一个复数,称 为 的共轭复数,记作 .显然, .,如:,1.1.2 复数的四则运算,设复数 , ,定义 与 的四则运算如下: 加法: 减法: 乘法: 除法: 如:,复数满足四则运算规律: 加法交换律 、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对于加法的分配律. 共轭复数的运算性质: (1) (2) (3) (
2、4) (5),(6) (7) 为实数.,例1 化简 . 解: .,例2 设 ,求 及 . 解: 所以,例3 设 是任意两个复数,求证: 证:利用公式 可得,1.1.3 复平面,一个复数 可唯一地对应一个有序实数对 ,而有序实数对与坐标平面上的点是一一对应的.所以,复数 全体与坐标平面上的点的全体形成一一对应.即 我们把坐标平面上的横坐标记为实轴,纵坐标记为虚轴,这样整个平面可称为复(数)平面.今后将复数与复平面的点不加区分.,图1.1,图1.2,由图示:复数 在复平面上即是点 ,而点 可由向量 来表示(如图1.1), 与 分别是 在 轴与 轴上的投影.复数 与 关于实轴对称(如图1.2).,1
3、.2 复数的三角表示,1.2.1 复数的模与辐角 复数 的模 如图1.1中的向量 的长度称为复数 的模,记作 或 ,即 复数 的辐角 设复数 对应的向量为 (如图1.1), 与实轴正方向所夹的角 ,称为复数 的辐角,记作 ,即 .,并规定 按逆时针方向取值为正,顺时针方向取值为负. 用记号 表示 的所有辐角中介于 与 之间(包括 )的那一个角,并称它为 的主辐角,即 .从而 我们可以用反正切函数来刻画 .由定义我们有: . 复数的三角表示式 称 为复数 的三角表示式.,例1 求 和 . 解,例2 求 的三角表示式. 解 因为 , 所以 设 则 又因为 位于第II象限, 所以 , 于是,1.1.
4、4. 复数的幂与根,1. 复数的乘幂 设 为正整数, 个非零相同复数 的乘积,称为 的 次幂,记为 ,即 若 ,则有 当 时,得到著名的棣莫弗 (De Moivre)公式,例7 求 . 解 因为 所以 例8 已知 , 求 . 解 因为,所以,2.复数的方根,称满足方程 的复数 为 的 次方根,记作 , 或记作 . 且 例1 解方程 . 解 因为 所以,可求出6个根,它们是,例2,特别的,当 时,,例3 计算 解 因为 所以 即,第1章 复数与复变函数,1.2 区域,1.2.1. 复平面上的点集与区域,扩充复平面 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 有限复平面 不包括无穷远点的复平面称为有
5、限复平面,或复平面. 邻域 平面上以 为心, 为半径的圆: 内部所有点 的集合称为点的 邻域,记为 ,即 称集合 为 的去心 邻域, 记作 .,开集 如果点集 的每一个点都是 的内点,则称 为开集. 闭集 如果点集 的余集为开集,则称 为闭集. 连通集 设是 开集,如果对于 内任意两点,都可用折线连接起来,且该折线上的点都属于 ,则称开集 是连通集. 区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域. 闭区域 开区域 连同它的边界一起,称为闭区域,记为 .,1.2.2 单连通域与多(复)连通域,1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 , 且 的 ,使 ,则称此曲线C有重点,无重点的连续曲线称为简单
6、曲线或约当(Jordan)曲线;除 外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线,例如, 是一条简单闭曲线(如图1.9).,图1.9,在几何直观上,简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线,即简单曲线自身是不会相交的;简单闭曲线除了没有“打结”情形之外,还必须是封闭的,例如,图1.10中的 是简单曲线, 是简单闭区域,图1.11中的 , 不是简单曲线,但 是闭曲线.,图1.10,图1.11,2. 光滑曲线、分段光滑曲线 设曲线 的方程为 若 , 在 上可导且 , 连续不全为零,则称曲线 为光滑曲线,由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线. 3. 单连通域、多连通域 设 是复平面上一区域,如果
7、在 内任作一条简单闭曲线 ,其内部的所有点都在 中,则称区域 为单连通区域;否则称 为多连通区域或复连通区域.,在几何直观上,单连通区域是一个没有“空洞(点洞)和缝隙”的区域,而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域,它可以是由曲线 所围成的区域中挖掉几个洞,除去几个点或一条线段而形成的区域(如图1.12 ).,图1.12,第1章 复数与复变函数,1.3 复变函数,1.3.1 复变函数的概念 定义1 设 为给定的平面点集,若对于 中每一个复数 ,按着某一确定的法则 ,总有确定的一个或几个复数 与之对应,则称 是定义在 上的复变函数(复变数 是复变数 的函数),简称复变函数,记作 .其中 称为自变量,
8、 称为因变量,点集 称为函数的定义域.,例1 将定义在全平面上的复变函数 化为一对二元实变函数. 解 设 , ,代入 得 比较实部与虚部得 ,,例2 将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函数 , ( ) 化为一个复变函数. 解 设 , , 则 将 , 以及 代入上式,经整理后,得,1.3.2 映射的概念 如果复数 和 分别用 平面和 平面上的点表示,则函数 在几何上,可以看成是将 平面上的定义域 变到 平面上的函数值域 的一个变换或映射,它将 内的一点 变为 内的一点 (如图1.13).,图1.13,1.3.3 反函数与复合函数 1.反函数 定义2 设 定义在 平面的点集 上,函数值集合
9、在 平面上.若对任意 ,在 内有确定的 与之对应.反过来,若对任意一点 ,通过法则 ,总有确定的 与之对应,按照函数的定义,在 中确定了 为 的函数,记作 ,称为函数 的反函数,也称为映射 的逆映射.,2.复合函数 定义3 设函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 ,值域 .若对任一 ,通过 有确定的 与之对应,从而通过 有确定的 值与 对应,按照函数的定义,在 中确定了 是 的函数,记作 ,称其为 与 的复合函数.,第1章 复数与复变函数,1.4 复变函数的极限与连续性,1.4.1复变函数的极限 定义4 设函数 在 的某去心邻域内有定义,若对任意给定的正数 (无论它多么小)总存在正数 ,使得适
10、合不等式 的所有 ,对应的函数值 都满足不等式 则称复常数 为函数 当时 的极限,记作 或,定理1 设 , 则 的充分必要条件为: 且,复变函数的极限四则运算法则: 设 , ,则 (1) (2) (3),例1 试求下列函数的极限. (1) (2) 解 (1)法1 设 ,则 ,且 得,法2 (2) 设 ,则 ,得,例2 证明函数 在 时极限不存在. 证 设 , 而 , . 考虑二元实函数 当 沿着 ( 为任意实数)趋向于 ,即,显然,极限值随 值的不同而不同,所以根据二元实变函数极限的定义知, 在 趋向于 时的极限不存在,即得结论.,1.4.2 复变函数的连续 定义5 设 在点 的某邻域内有定义
11、,若 ,则称函数 在点 处连续. 若 在区域 内每一个点都连续,则称函数 在区域 内连续. 定理2 函数 ,在 处连续的充要条件是 和 都在点 处连续. 定理3 在 处连续的两个函数的和、差、积、商(分母在 处不等于零)在 处仍连续.,例3 求 解 因为 在点 处连续,故,例4 讨论函数 的连续性. 解 设 为复平面上任意一点,则 当 时, 在 无定义,故 在 处不连续. 当 落在负实轴上时,由于 ,在 从实轴上方趋于 时, 趋于 ,在 从实轴下方趋于 时, 趋于 ,所以 不连续.当 为其它情况时,由于 所以 连续.,定理4 若函数 在点 处连续,函数 在 连续,则复合函数 在 处连续(证略). 最值性质 当 在有界闭区域 上连续时,则 也在 上连续,且可以取得最大值和最小值; 有界性 在 上有界,即存在一正数 ,使对于 上所有点,都有 .,例5 讨论 在闭圆域 : 上的连续性,并求 在 上的最大值与最小值. 解 因为 和 在 上连续,故 及 在 上都连续. 又因为 ,故它在 上的最大值与最小值分别就是 的最大值与最小值. 在 内,当 时, 取到最大值 ;,当 时, 取到最小值 ,即对任意 都有 特别指出, 在曲线 上点 处连续的意义是,
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