工程矩阵理论.doc
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1、双语国际教育版系统分析的数学工具工程矩阵理论(适用于数学专业和其它理工科研究生)倪郁东编著合肥工业大学数学学院目录第一章 线性空间与线性变换 11.1 线性空间 11.2 线性变换及其矩阵 31.3 内积空间 81.4 正交变换及其几何与代数特征 1.5 应用于小波变换的框架理论 15第二章 矩阵的标准形理论2.1 线性变换的特征值和特征向量 292.2 矩阵的相似对角化 322.3 特征矩阵的标准形 342.4 矩阵的标准形 342.5 矩阵的最小多项式第三章 矩阵分解 293.1 消去法与矩阵三角分解 293.2 矩阵的分解 323.3 矩阵的满秩分解 343.4 矩阵的奇异值分解 343
2、.5 矩阵分解的应用第四章 矩阵范数理论及其应用 164.1 范数与赋范线性空间4.2 向量范数及其性质 174.3 矩阵的范数 184.4 范数的应用 19第五章 矩阵分析及其应用 205.1 矩阵序列 205.2 矩阵级数 215.3 矩阵函数 225.4 矩阵的微分和积分 255.5 矩阵函数的一些应用 265.6 梯度分析和最优化 27第六章 特征值估计及极性 386.1 特征值的估计 386.2 广义特征值问题 406.3 对称矩阵特征值的极性 416.4 广义特征值分析的应用 42第七章 广义逆矩阵 437.1 投影矩阵 437.2 广义逆矩阵 467.3 总体最小二乘方法 49第
3、八章 中的矩阵运算简介 508.1 基本矩阵运算 508.2 矩阵分解 528.3 广义逆矩阵和解线性系统 54参考文献 57编著者说明1、体例格式为:知识要点,章节内容,各章习题。2、章节内容包括:定义,结论,例题,定理,推论,注记。其中,定理和例题均有证明或解答,而结论和推论则不加详述。前言矩阵的概念和理论已被广泛地应用于现代科技的各个领域,有力地推动着现代科学技术的发展。矩阵的思想方法,被广大的科技工作者所掌握和应用(矩阵切换器,线性控制理论),尤其是计算机科学家和控制科学家爱不释手的重要工具。矩阵的概念脱胎于行列式的形式,是作为表达线性方程组的简单记法而产生的,但其发展的历史却耐人寻味
4、。为了求解线性方程组,1693年莱布尼茨首次使用行列式概念,1750年克拉姆()法则创立,1820年高斯()提出消元法(这是一种基本而又重要的方法,广泛用于线性方程组的求解,更重要的是由此凝炼出了矩阵初等变换的基本方法),但矩阵的概念一直没有形成。虽然,1801年高斯已把一个线性变换的全部系数视作一个整体,而爱森斯坦因()在1844年就讨论了线性变换及其乘积,并强调了乘法次序的重要性。直到1851年,西尔维斯特()首先提出使用二维数表的符号表示线性方程组,才引入了矩阵的概念。将矩阵作为一个独立的数学对象进行的研究,开始于1855年以及其后凯莱()发表的一系列研究矩阵理论的文章。在这些文献中,他
5、引进了关于矩阵的一些直至现代仍通用的定义,如矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、矩阵的乘积(并且注意到:矩阵的乘法是可结合的,但一般不可交换,且矩阵只能用矩阵去右乘)、矩阵的逆、转置矩阵、对称矩阵等,并借助于行列式定义了方阵的特征方程和特征根。1858年凯莱发表了关于矩阵理论的研究报告,证明了一个重要结果:任何方阵都满足它的特征方程。这个结果现被称为凯莱哈密顿定理。由于正是由于这些奠基性的工作,凯莱被认为是矩阵理论的创始人。当然,在矩阵理论之中,也积淀了其它众多科学家的卓越贡献。埃米特()证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征
6、根性质等。后来,克莱伯施()、布克海姆()等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯()引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯()的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1870年,约当()研究了矩阵化为标准形的问题,建立了著名的约当标准型理论。1892年,梅茨勒()引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而
7、开始的。到19世纪末,矩阵理论已日臻完善,但其应用并不十分广泛,这主要归因于大规模线性方程组求解问题的计算复杂度太大,难以手工进行下去。进入20世纪之后,当人们渐渐以为有限维度的矩阵理论和方法已经终结的时候,计算机技术出现了,这使得矩阵理论获得新生。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质即相互关系,矩阵由最初作为一种工具经过一个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支矩阵理论。而矩阵理论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。这些应用主要集中于线性问题表示、计算与分析,以及非线性
8、问题的线性分析与处理。矩阵理论发展示意图1820年高斯 ()提出消元法1851年西尔维斯特()创立矩阵的概念1855-58年凯莱()创立矩阵基本理论 1870年约当()创立标准形理论1878年弗罗伯纽斯()创立矩阵理论1892年,梅茨勒()创立矩阵函数理论第一章 线性空间与线性变换知识要点:1、线性空间的概念(数域、线性运算封闭性、线性运算公理),结构(线性无关、基、维数,向量在基下的线性表示和坐标),过渡矩阵和向量的坐标变换(可按形式矩阵乘法直接表示)。2、线性空间同构的概念(可自学)。3、线性子空间的概念(定义与充要条件,生成子空间,交空间,和空间,维数定理,直和与直和分解定理)。4、线性
9、变换及其矩阵表示(定义与运算,象空间、核空间和不变子空间,线性变换在基下的表示:变换与矩阵一一对应、不同基下矩阵相似,线性变换下向量的坐标:变换矩阵左乘向量坐标)。5、欧氏空间与酉空间(内积、范数与距离,正交基、正交阵与酉阵,正交补与正交分解)。6、正交变换及其特征(正交变换及其线性性,正交变换的几何特征,正交变换的矩阵特征)。7、应用于小波变换的框架理论(对偶框架,紧框架,基)。1.1线性空间一、线性空间的概念定义1:设非空集合相对于数域具有封闭的加法和数乘运算,并且具有与任何元素之和仍为该元素的零元素,同时每个元素均具有与其之和为零元素的负元素。若中运算满足加法结合律与交换律、数乘结合律与
10、分配律、乘1不变性,则称为数域上的线性空间。注1:数域是指对加减乘除四则运算封闭的数集,如有理数集、实数集、复数集等。注2:易证零元素和负元素均是唯一的。例1:数域上的维(列)向量空间。 按维向量的线性运算,构成数域上的线性空间。例2:中的子集。 按中的线性运算,非空子集是封闭的,从而构成数域上的线性空间。例3:数域上的阶矩阵空间。 按阶矩阵的线性运算,构成数域上的线性空间。例4:数域上的多项式空间。 按多项式的线性运算,构成数域上的线性空间。例5:区间上的实值连续函数空间。按函数的线性运算,构成数域上的线性空间。例6:例7:二、线性空间的结构定义2:设为数域上的线性空间中的一组向量,若有中不
11、全为零的一组数,使得,则称线性相关,否则称为线性无关。定义3:设线性空间中有一组向量,满足:(1)线性无关;(2)中任一向量均可由线性表示。则称为的一组基,数称为的维数,记为。结论1:设为数域上线性空间的一组基,则对于任何向量,存在唯一一组数,使得,从而。 将记为,称为在基下的坐标。注:线性空间的基可以理解为空间中的一种参照系,能将所有元素线性表示出来。例6:为中的一组基,;为中的一组基,;为中的一组基,;中任意有限个向量均为中线性无关的向量组,因而不是有限维空间。注:有限维空间的基不是唯一的,但其维数是唯一确定的。三、过渡矩阵和向量的坐标变换定义4:设和为线性空间中的两组基,若则矩阵称为从到
12、的过渡矩阵。 将上述基变换表达式简记为,称之为基变换公式。定理1:线性空间基之间的过渡矩阵是可逆的。证明:设从基到基的过渡矩阵为,则。 对于任何列向量,时,。 由此可得,从而过渡矩阵是可逆的。推论:设为到的过渡矩阵,则到的过渡矩阵为。证明:设到的过渡矩阵为,则由,可得,从而,即。这说明到的过渡矩阵为。定理2:设向量在基和下的坐标分别为和,为到的过渡矩阵,则或。证明:由及得,从而或。注:上述公式称为向量在不同基下的坐标变换公式。例9:验证和 均为中的基,并求前一组基到后一组基的过渡矩阵,以及在后一组基下的坐标。解:考察,即对任何数成立,则由多项式理论可知。因而是线性无关的,并构成的一组基。 由及
13、可逆知, 也构成的一组基,并且到的过渡矩阵为。 由可得,在下的坐标为。注:也可先求出,再计算出。例10:已知的两组基分别为,试求到的过渡矩阵。解:设,则到的过渡矩阵。四、线性子空间的概念定义5:设是线性空间的非空子集,若关于中的加法和数乘也构成线性空间,则称是的一个线性子空间。子空间判别定理:线性空间的非空子集为的子空间的充分必要条件是对中的线性运算封闭。结论2:设、为的子空间,则与的交也是的子空间,称为交空间。例11:设,则。结论3:设、为的子空间,则与的和也是的子空间,称为和空间。例12:设,求、及它们的一组基。解:任取,则,即。解之得,从而,。由此可得,为其一组基。 任取,则,因此。由可
14、知,为的一组基。维数定理:。证明:设,取的一组基,并将其分别扩展为和的基:,。 考察,由可知,右端属于可由线性表示,即有,整理后得到。 由的线性无关性可得,从而。 再由的线性无关性可得,从而向量组线性无关,并构成的一组基。由此可得, ,并且。定义6:设、为的子空间,若中每个向量的分解式是唯一的,则称为与的直和,记为。直和判别定理:。证明:若是直和,假设存在,则,并且,由零向量分解式的唯一性可得,这与假设矛盾,因此而。若,假设中向量的分解式不唯一,即存在,使得。由此可得,从而,即,这与假设矛盾,因此是直和。注1:为直和的充要条件为某一向量(包括0)的分解式唯一。(设分解式是唯一的,则对于0的分解
15、式,由此可得,因此0的分解式唯一)注2:、的基合并在一起构成的充分必要条件是为直和。直和分解定理:设为的子空间,则存在的子空间,使得。证明:取的一组基,将其扩展为的一组基。令,则,因此为和的直和。注1:若为的一组基,则,但远充不满线性空间。注2:直和分解的意义还在于将大规模的线性运算分解成较小规模线性运算的线性组合,这将大大加快线性运算的速度,傅立叶()变换的快速计算就是建立在这种思想上的。1.2线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算(定义与运算、构成线性空间)线性变换是线性运算和运算具有线性性的共性化的概念,其本质是像的线性运算与原像的线性运算可以互相转换。如维向量的线性变换、函数的微分和积分
16、运算均为线性变换。定义1:设是数域上线性空间到(或另一线性空间)中的映射,若对任何,总成立着,则称是上线性变换。例1:对于结论1:线性变换的加、减、乘、数乘和逆运算仍为线性变换,按线性运算构成线性空间。注:线性变换的研究与其他许多数学对象一样,常常是从运算性质、特殊区域上的表现、运算表达式等方面着手的。二、象空间、核空间和不变子空间定义2:,。定理1:。证明:取的一组基,并将其扩张为的一组基,则对于任何,总有,从而。对于,由可知,从而可由线性表示,即,再由的线性无关性可知,从而线性无关。由此可知,构成的一组基,因此,从而。定义3:若,则称为的不变子空间。注:不变子空间是线性变换的属性在定义空间
17、上的反映,不变子空间中线性变换的性质独立于其它范围中的性质,因此寻找合适的不变子空间是性质分析的重要的内容。由特征向量生成的子空间就是一个不变子空间,特征向量的方向就是线性变换的信号增益通道。结论2:,均为的不变子空间。三、线性变换在基下的矩阵表示定义4:设为线性空间上的线性变换,若的一组基在下的像为,则称为在下的矩阵表示,并将上述表达式记为。注:不一定可逆,但可逆时也构成一组基。结论3:与同构。即中线性变换与中矩阵一一对应,并且保持对应的线性变换。注:这说明除具体形式和符号不同以外,从线性运算的角度看,两者没什么区别。即同一个本质,具有两个不同的表现形式。定理2:设和为线性空间中过渡矩阵为的
18、两组基,线性变换在这两组基下的表示分别为,则,即相似。证明:由,可得,从而。注:定理的意义还在于,可将矩阵的相似化理解为线性变换在不同基(或参照系)下的转换。例2:设线性空间为由基函数生成的实数域上的线性空间,令。(1)证明:也为的一组基;(2)求到的过渡矩阵;(3)求微分算子在基下的矩阵。解:,。由此可得,。(1)由可知, 可逆。因此,线性无关,从而构成的一组基。(2)为到的过渡矩阵。(3),。由此可得,微分算子在基下的矩阵为。四、线性变换下向量的坐标在线性空间中,由于每个向量均能表示成一组基的线性组合,因此向量在线性变换下的像将由基的像来决定。结论4:设为线性空间的一组基,线性变换在基下的
19、矩阵表示为,向量在此基下的坐标为,则的坐标为。例3:1.3内积空间一、内积空间的基本概念定义1:设是实数或复数域上的线性空间,若对任何向量,都存在上的确定数,满足以下条件:(1),等号成立当且仅当;(2);(3)。则称为与的内积,为内积空间。特别时,称为欧氏空间;时, 称为酉空间。显然,内积空间中具有两种相容的基本运算:线性运算和内积,其中内积运算具有线性性。内积运算虽然不是封闭的,但可视为元素的示性运算。例1:常见的内积空间。结论1:对每一个,令,则为一个实数,并满足:,当且仅当时等号成立,即构成上的一个范数,称为内积诱导的范数,构成赋范线性空间。注:若定义,则具有正定性、对称性并满足三点不
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