主轴问题.ppt
《主轴问题.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《主轴问题.ppt(18页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、8.5 主轴问题,授课题目:8.5主轴问题 授课时数:3学时 教学目标:会用正交线性替换化实对称矩阵为 对角形 教学重点与难点:会用正交线性替换化实对称 矩阵为对角形,定义1 设U为n 阶正交矩阵,对n 元实二次型,作可逆线性替换X=UY,则我们把这种线性替 换称为正交线性替换。,一. 正交线性替换,由定理7.5.5我们知道, 对任意n 阶实对称矩阵 A,都存在正交矩阵U,使得,二. 正交线性替换与实对称矩阵的化简,其中,,A的全部特征根,U的第j列是A的属于特征根,的特征向量( j=1,2,n),定理8.5.1 任一n 元实二次型,都可以通过正交线性替换X=UY化为标准形,其中,是A的全部特
2、征根.,推论1 n 元实二次型,必要条件是A的全部特征根都是正数.,正定的充分,对n 元实二次型A,除了用施密特正交化法求 出U使得,我们还可以用解齐次线性方程组来取代求出所 需的U,具体步骤为: 求出实对称矩阵A的全部特征根,三. 正交线性替换化实对称矩阵为对角形步骤,为对角形.,2. 对特征根,求得一非零解,求得一个非零解,重复这个步骤,便可求得属于,类似于,可求得属于它的,3. 将第二步中得到的,单位化,得,再以其为列作为一个矩,彼此正交.,阵U,则U正是所求的正交矩阵.,所以A的特征根为2,2,8. 对特征根2,解齐次 线性方程组,例1,求正交矩阵U,使得,解 因为,化为对角阵.,可求
3、得非零解,解方程组,又得一个非零解,对特征根8,解齐次线性方程组,由,可求得一个非零解,以,为列做矩阵.,则U是正交矩阵,且可验证,例2 在直角坐标系,下方程,表示什么图形? 解 该方程左边是一个二次型,它的矩阵正是例1 中的A矩阵. 所以只要作正交线性替换(坐标变换),便可得到该图形的标准方程,由此可知该图形实际上是一个半轴长分别为,的椭球面,习题85 1 求正交矩阵U,使UTAU成对角形矩阵: 1),2),2 用正交线性替换将下列实二次型化为标准形: 1),2),3),3 求正交线性替换化二次型,为标准形,并指出,表示什么曲面,4 实对称矩阵正定的充要条件是它的特征根都 是正数 5 设A是实对称矩阵,且A2=A,证明存在正交 矩阵U,使得,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 主轴 问题
链接地址:https://www.31doc.com/p-2714336.html