指幂对增长比较.ppt
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1、复习,1.a1时,y=ax的图像; 2.a1时,y=logax的图像; 3.x0,n1时,幂函数y=xn的图像.,Y=log5x,Y=log3x,Y=log2x,a1时,a越小,函数值增长越快,Y=x,Y=x2,Y=x3,n1,x1时,n越大,函数值增长越快,问题提出,对于这三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别?,动手实践:,(见几何画板图像比较1),在同一坐标系中画出函数 y=2x, y=x2, y=log2x的图像,其中x0.并进行比较,1.对数增长平缓; 2.指数与二次增长迅速,在第一象限两图像有两个交点,思考1:根据图像,不等式log2x2xx2和 log2xx22x成立的x
2、的取值范围分别如何?,思考2:上述不等式表明,这三个函数模型增长的快慢情况如何?,观察体会,1. y=log2x的图像与另外两个函数的图像没有交点,函数值增长最慢; 2.在第一象限内 y=2x的图像与y=x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16 ),说明当x(0,2)时,2x x2 ;当x(2,4)时, 2x x2 ,且y=2x 增长非常快,人们称这种现象为“指数爆炸”.,看课本 P98-99,P101-102进行分析,结论,1.一般地,对于指数函数y=ax (a1)和幂函数y=xn (n0),通过探索可以发现,在区间(0,+ )上,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xn
3、,但由于ax的增长快于xn的增长,因此总存在一个x0,当xx0时,就会有axxn.,2.同样的,对于对数函数y=logax (a1)和幂函数y=xn(n0),通过探索可以发现,在区间(0,+ )上,随着x的增大,logax增长得越来越慢,尽管在x的一定变化范围内,logax可能会大于xn,但由于logax的增长慢于xn的增长,因此总存在一个x0,当xx0时,就会有logaxxn.,综上所述:,尽管对数函数y=logax (a1),指数函数y=ax (a1)与幂函数y=xn (n0)在区间(0, + )上都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大, y=ax (a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn (n0)的增长速度,而y=logax (a1)的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x0,当xx0时,就会有logaxxnax .,小结,本节学习了指数函数、对数函数、幂函数的增长差异,体会指数函数的快速增长性在日常生活中的应用.,
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