第八章多元函数微积分学[1].doc
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1、第八章 多元函数微积分(1,2)叶红珍 上饶职业技术学院第一节 二元函数(1、2)教学目的:理解区域的概念;理解多元函数的概念;掌握二元函数概念;体会事物之间的普 遍联系的规律。教学重点:二元函数的基本概念:二元函数的定义域、函数值和几何意义。教学难点:二元函数的几何意义及二元函数的图形教学形式:讲授法教学时间:90分钟教学过程一、引入新课1、一元函数的定义:。其中f在19世纪以前都以数学公式的形式出现,直到1837年德国数学家狄克雷(1805-1859)抽象出了至今人们仍为易于接受,并且较为合理的函数概念。2、多元函数:例1 (1)一定量的理想气体的压强P,体积V和绝对温度T之间有: 一个有
2、火炉的房间中,在同一时刻的温度分布。在选定空间直角坐标系后,房间内每一点处都有唯一确定的温度与之对应。这时温度是的一个三元函数,故可表示为=。若考虑房间中不同时刻的温度分布,则温度就是的一个四元函数=。二、新授课1区域的概念 (1)点的某个邻域: 点集 称为点的邻域,亦称为圆形邻域而方形邻域表为任一圆形邻域必含有方形邻域,任一方形邻域必含有圆形邻域空心邻域记为 (2)内点、外点、边界点,边界 设,是的内点;是的外点;是的边界点;且边界:所有边界点的集合。 几点说明 E的内点一定属于E ; E的外点一定不属于E ;E的边界点不一定属于E (3)开集、闭集 定义: E为开集为E的内点 即E为开集是
3、指E中的点都是E的内点 例1 E 是开集例2 , E 是开集 (4)平面区域 区域,开区域,闭区域设E为一平面点集,如果E 中的任意两点都可以用E内的一条折线相连接,则称E为连通的连通的开集称为开区域开区域与其边界点的并集称为闭区域开区域、闭区域统称为区域 有界区域和无界区域 2二元函数的概念定义 设平面上有一个非空点集,如果有一个对应规律,使每一个点都对应于唯一的一个实数,则称是上的二元函数,它在处的值称为函数值,记为,即称为该函数的定义域,称为自变量,又称因变量.常见的二元函数:问题二元函数自变量矩形的面积-宽,-长圆柱体体积-底半径,-高收益-价格,-销售数量利润-收益,-成本函数值Z,
4、即。(在本章的后面提到的多元函数均指单值函数)比较:;其中=,但是不存在的。我们知道二次方程图象是球面,定义域为,单值分支 , 3二元函数的定义域: 确定函数定义域的常见类型:指定;由实际问题限制;使解析式有意义。而其中由解析式确定函数定义域的题型有:分母不为零;非负数开偶次方;超越代数式有意义等等。下面通过例子来看。例2 求下列各函数的定义域(1) (2) 解 (1) 显然定义域为图8-1a a-a-axy 如图8-1(b) 在平面直角坐标系中,它表示以原点为圆心,半径为a的圆的内部且包括边界圆周(图8-1)(2)式函数的定义域。 解:由 得即定义域为,见(图8-2)OxyOxyOyx(图8
5、-3) (图8-2) 例3 在上面两个函数的定义域中分别任取一点,求出对应的函数值。(1) (2) 4二元函数的几何意义:空间直角坐标系中的一个曲面一般地讲,二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的一个曲面。设二元函数 当点跑遍定义域D时,相应的点就在空间描绘出一个曲面,这个曲面就是二元函数的图形见(图8-3)。例如图象如左图函数 图象如右图。 例4 函数的图象是一张平面,其与的交线为,与的交线为,如右图即有交线: 5、课堂练习 求函数的定义域,并计算和找出一个定义域里的点,并求出函数值)解: , 所求定义域为三、本节小结: 区域的概念,多元函数的概念,二元函数定义域与二元函数的几何意义四、课
6、外作业: P165. 1. 2. 4(2)(4)第八章 多元函数微积分(3)叶红珍 上饶职业技术学院第一节 二元函数(3)教学目的:理解二元函数极限及连续概念。会求简单的函数极限。了解重极限与二次极限的 关系。教学重点:二元函数的极限判断。教学难点:二重极限与二次极限的关系和应用。教学形式:讲授法教学时间:45分钟。教学过程一、引入新课 一元函数极限的定义:设函数在附近有定义(但在处不一定有定义),如果当无限趋于时,函数值无限趋于某个确定的常数A,则称A是函数当趋于时的极限,记为 或,当时。二、新授课 1、二元函数的极限 定义 设函数在点的某个邻域内有定义(在点处不一定有定义),是该邻域内异于
7、的任意一点。如果当点以任何方式无限趋于点时,相应的函数值无限趋于一个确定的常数A,则称A是函数当时的极限,记作 注意:(1) 的路径是任意的; (2) 的路径一定在D中; (3)上面介绍的极限也称为二重极限; (4) 一元函数的极限性质在这里亦成立二重极限是一元函数极限的推广,有关一元函数极限的运算法则和定理,都可以直接类推到二重极限,这里不再详细叙述。例1 讨论极限是否存在?解:因为当点沿直线趋于点(0,0)时,有 而当点沿直线趋于点(0,0)时,有 = 所以不存在。 注:用极限定义计算多元函数的极限及证明极限的存在比较麻烦,不作要求。 2、二元函数的连续性1二元函数连续定义 对于二元函数,
8、点,如果 ,则称 f (x, y) 在点处连续,点称为连续点否则,称 f (x, y)在点处间断,点称为间断点 如果二元函数在区域D上的每一点都连续,则称二元函数在区域D上连续 如果二元函数在点连续,那么,作为一元函数亦在点连续同样,作为一元函数在点亦连续 连续的等价定义设定义域为D,记称为在点的全改变量于是点连续 而称为关于x的偏改变量;称为关于y的偏改变量例2 讨论函数在(0,0)的连续性 解: 取,其值随k的不同而变化,所以函数在点的极限不存在,故函数在(0,0)处不连续2、(初等函数的连续性) 所有初等函数在其定义域内连续如果在D上连续,则例3 求解:例4 求解:3、闭区域上连续函数的
9、性质性质1(有界性) 如果在有界闭区域D上连续,则在D上有界即 性质2(最值性) 如果在有界闭区域D上连续,则在D上可取最大值与最小值。 性质3 (介值性) 如果在有界闭区域D上连续,且则介于之间, 三、本节小结: 二元函数的极限和二元函数的连续四、课外作业: P165. 3第八章 多元函数微积分(4,5)叶红珍 上饶职业技术学院第二节 偏导数 教学目的:了解学习偏导数的意义,掌握多元函数偏导数定义,会求偏导数。教学重点:偏导数,全微分概念教学难点:偏导数的几何意义;全微分概念教学形式:讲授法与练习法相结合教学时间:90分钟教学过程一、引入新课 1. 一元函数的导数定义:,显然有函数在点的某个
10、邻域内有定义。记作: 2. 二元函数的极限概念: 二、新授课一、多元函数的偏导数1、二元函数偏导数的定义 就二元函数,如果在点存在导数, 则称 f (x, y)在点关于x可导,并称此导数为 f (x, y)在点关于x的偏导数,记作 图8-5 或 ,即,其中称为u关于x的偏改变量同理可定义f (x, y) 在点关于y的偏导数,即,其中称为u关于y的偏改变量几何解释如图z = f (x, y) 是空间一张曲面,如果把中的看成常数,则下式 表示曲面与平面相交而成的一条曲线。根据一元函数导数的几何意义可知,就是这条曲线在点处的切线关于X轴的斜率,即其中是切线与X轴正向的夹角。同理有是曲面与平面的交线
11、在点处的切线关于Y轴的斜率,即 其中是切线与Y轴正向的夹角2、二元函数的偏导函数:函数关于自变量的偏导函数,记为,或类似地,函数关于的偏导函数记为或或3、多元函数的偏导数 多元函数中,当某一自变量在变化,而其他自变量不变化(视为常数)时,函数关于这个自变量的变化率叫做多元函数对这个自变量的偏导数。注意1:在一元函数的导数符号中,和可以分别看作和的微分,而多元函数的偏导数符号,则都是一个整体符号,不能分开。单独的,和都是没有意义的。注意2:由偏导数的概念可知,在点关于的偏导数就是偏导函数在点的函数值,而就是偏导函数在点的函数值.在不至于引起混淆的情况下,偏导函数也简称为偏导数。例1 讨论在(0,
12、0) 点的偏导数解: f (x, 0) =, 不存在;又 , 例2 设,求及解: , , , 例3 求在点(1,0)的偏导数.解: 为求,把看作常数,对求导,得为求,把看作常数,对求导,得二、高阶偏导数二元函数关于两个变元的偏导数,仍是二元函数,如果它们关于的偏导数也存在,则称二元函数具有二阶偏导数二元函数的二阶偏导数有如下四种情形,(先后), (先后),类似地可定义二元函数的三阶偏导数,(共有8个)一般地,二元函数的 m 阶偏导数的偏导数称为的m+1阶偏导数(m 阶偏导数共有个)二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例1 设求解: 因为所以 二阶偏导数称为二阶混合偏导数,一般地但有下面的定理定理1
13、 如果二阶偏导数在点的某邻域内存在,且在该点连续,则证:略三、本节小结: 偏导数的概念,几何意义;高阶偏导数四、作业:P168. 1,4,5(1)第八章 多元函数微分学(6)叶红珍 上饶职业技术学院第三节 全微分教学目的:理解全微分概念,了解全微分存在的必要条件和充分条件。教学重点:教学难点:教学形式:教学时间:教学过程一、引入新课 一元函数微分的定义二、新授课 (一)全微分的概念定义 就二元函数 u= f (x, y),,如果在点满足,则称函数 u = f (x, y) 在点可微,并称为该函数在点的全微分,记作,即或定理 若函数u= f (x, y)在点可微,则函数u= f (x, y)在点
14、连续。(二)可微的条件定理1 (可微的必要条件) (可微可导)在点可微,则在点的偏导数存在,且由此证:因为在点的可微,所以 ,令,得同理可得,故结论成立与一元函数的情况一样,由于自变量的增量等于自变量的微分,即, 所以全微分也可表为若函数在D上的每点都可微,则称在D上可微,且在D上的全微分为定理的逆不成立,请看下例例1 讨论函数在点的可微性解:; 若 f (x, y) 在 (0,0)点可微,则而 不存在,所以不可微 定理2 (可微的充分条件) 若在点的偏导数存在,且的偏导数在点的某邻域内连续,则在点的可微 证: 略注意:定理2的逆不成立,即在点的可微不能推出其偏导数连续例如在(0,0)点可微,
15、但其偏导数在(0,0)点不连续例2 求函数的全微分。解: 例3 计算在点的全微分。 (三) 近似计算若在点可微,则,由此而得近似公式例4 有一铜质球台形密闭容器,内半径,内高,壁厚,求容器用铜的体积 解:由定积分知体积公式为, ,于是,从而 ,取得,所以容器所用铜的体积约为785.4例5 求的近似值. 解: 所计算的值可以看作函数在点处的值.显然, 故取 ,代入公式(5)便得到 而 因此 三、课堂小结: 掌握全微分的概念;理解可微的充分和必要条件;会用全微分求简单的近似计算。四、作业:P171. 1,2(1)(3),4第八章 多元函数微分学(7,8)叶红珍 上饶职业技术学院第四节 复合函数和隐
16、函数的微分法教学目的:掌握多元复合函数的求导法则,能正确应用法则求多元复合函数的导数。 掌握隐函数的求导公式,并能正确应用公式。 教学重点:多元复合函数的求导法则 隐函数的求导公式教学难点:应用教学形式:新授课,讲练结合教学时间:90分钟教学过程一、引入新课复习 1 二元函数的二阶偏导数;2 一元复合函数的概念;3 一元复合函数的求导法则。二、新授课(一)复合函数微分法1、复合函数的求导法则定理1若函数在可导,在可微,则复合函数在可导,且 ;证:略值得注意的是,复合函数的求导法则必须要求外函数可微在内函数可导的情况下,复合函数才能可导如果外函数可微,内函数可微,则复合函数亦可微推广:如果外函数
17、为,内函数为,则 此称为链式法则 注:复合函数的求导法则是不需要去死记硬背的,只需画出函数结构图即可。例1 ,求解: 函数结构图: x u y z x v y,例2 可微函数,求证:证: ,所以例3 求解:函数结构图: u t z v t t 2、复合函数的全微分设可微,如果可微,则,于是复合函数可微,且复合函数的全微分不变性设可微,不论是自变量或是中间变元,微分形式不变(二)隐函数的微分法 与一元函数的隐函数类似,多元函数的隐函数也是由方程式来确定的一个函数。比如,由三元方程所确定的函数叫做二元隐函数。但不是所有的方程式都能确定一个函数,也不能保证这个函数是连续的和可以求导的。例如 ,由于x
18、,y,z无论取什么实数都不满足这个方程,从而这个方程不能确定任何实函数。原来我们讲一元函数的隐函数求导,是在方程能确定一个一元函数,且这个函数可导的前提下进行的。因此,现在我们需要解决在什么条件下,可以由一个三元方程式确定一个二元函数,且这个函数是连续的、可导的,以及具体的求导方法。 定理 设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数,且,则方程在的某邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数,它满足方程及条件,其偏导数可由 和 即 和 来确定。这个公式可以推广到一元隐函数和三元隐函数的求导中去。由所确定的一元隐函数的导数是 由所确定的三元隐函数的偏导数是 例4 求由方程 所确定的隐函数的偏
19、导数和。解 设,则有,所以当时,由定理得,例5 求由方程所确定的隐函数的导数。解法1 设,则有, 解法2 用原来求一元隐函数的导数的方法求 因为 所以 很明显,用第一种解法比第二种解法要简单,它不用考虑、是自变量还是因变量。例6 求由方程 所确定的隐函数的导数,和。解 设,则有,例7 求由方程 所确定的隐函数在点(0,1)处的偏导数()。解 设,则有, 又当x=0、y=1时,所以, 练习 32 3(3)三、课堂小结: 1 多元复合函数的求导法则锁链法则: 2 隐函数求导公式: 和 四、作业: P176. 2,3(1),(2),5 。第八章 多元函数微分学(9,10)叶红珍 上饶职业技术学院第五
20、节 二元函数的极值 教学目的:理解二元函数极值的概念,掌握极值的求法 掌握二元函数最大值、最小值的求法教学重点:二元函数极值的概念与极值的求法教学难点:二元函数极值的求法 实际应用中的最值问题教学形式:新授课,讲练结合教学时间:90分钟教学过程一、引入新课:在实际问题中,往往会遇到求多元函数的最大值、最小值问题与一元函数相类似,多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有着密切的联系,我们现在主要讨论二元函数的极值、最大值、最小值问题。二、讲授新课:(一) 二元函数极值的定义和求法 定义 设二元函数在点的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于的点,如果都适合不等式则称函数在点有极大值;如果都适合不等
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