22函数的单调性配套文档2015届高考数学总复习理新人教B版.doc
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1、2.2函数的单调性1函数单调性的定义增函数减函数定义设函数yf(x)的定义域为A,区间MA,如果取区间M中任意两个值x1,x2,改变量xx2x10,则当yf(x2)f(x1)0时,就称函数yf(x)在区间M上是增函数yf(x2)f(x1)0,则函数f(x)在D上是增函数()(3)函数y|x|是R上的增函数()(4)函数yf(x)在1,)上是增函数,则函数的单调递增区间是1,)()(5)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是(0,)()(6)函数y的最大值为1.()2 函数yx26x10在区间(2,4)上是 ()A递减函数 B递增函数C先递减再递增 D先递增再递减答案C解析作出函数yx26
2、x10的图象(图略),根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增3 (2013安徽)“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0,)内单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析本题利用函数的图象确定字母的取值范围,再利用充要条件的定义进行判断当a0时,f(x)|(ax1)x|x|在区间(0,)上单调递增;当a0时,结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图象知函数在(0,)上先增后减再增,不符合条件,如图(2)所示所以,要使函数f(x)|(ax1)x|在(0,)上单调递增只需a0.即“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在(
3、0,)上单调递增”的充要条件4 函数f(x)在1,2的最大值和最小值分别是_答案,1解析f(x)2在1,2上是增函数,f(x)maxf(2),f(x)minf(1)1.5 函数y(2x23x1)的单调减区间为_答案(1,)解析由2x23x10,得函数的定义域为(,)(1,)令t2x23x1,则yt,t2x23x12(x)2,t2x23x1的单调增区间为(1,)又yt在(1,)上是减函数,函数ylog(2x23x1)的单调减区间为(1,).题型一函数单调性的判断例1讨论函数f(x)(a0)在x(1,1)上的单调性思维启迪可根据定义,先设1x1x21,然后作差、变形、定号、判断解设1x1x21,则
4、f(x1)f(x2).1x1x20,x1x210,(x1)(x1)0.又a0,f(x1)f(x2)0,函数f(x)在(1,1)上为减函数思维升华利用定义法证明或判断函数单调性的步骤:(1)已知a0,函数f(x)x (x0),证明:函数f(x)在(0,上是减函数,在,)上是增函数;(2)求函数y的单调区间(1)证明设x1,x2是任意两个正数,且0x1x2,则f(x1)f(x2)(x1x2a)当0x1x2时,0x1x2a,又x1x20,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在(0,上是减函数;当x1a,又x1x20,所以f(x1)f(x2)0,即f(x1) BaCa0成立,那么a的取值范围是_思
5、维启迪利用函数的单调性求参数或参数的取值范围,解题思路为视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参答案(1)D(2),2)解析(1)当a0时,f(x)2x3,在定义域R上是单调递增的,故在(,4)上单调递增;当a0时,二次函数f(x)的对称轴为x,因为f(x)在(,4)上单调递增,所以aa.综合上述得a0.(2)由已知条件得f(x)为增函数,解得a2,a的取值范围是,2)思维升华已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:若函数在区间a,b上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;分段函数的单调性,除各段要单调外,还要注意衔接点的取值(
6、1)函数y在(1,)上单调递增,则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3(2)已知f(x)是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为 ()A(1,) B4,8)C(4,8) D(1,8)答案(1)C(2)B解析(1)y1,由函数在(1,)上单调递增,有,解得a3.(2)因为f(x)是R上的单调递增函数,所以可得解得4a1时,f(x)0,代入得f(1)f(x1)f(x1)0,故f(1)0.(2)证明任取x1,x2(0,),且x1x2,则1,当x1时,f(x)0,f0,即f(x1)f(x2)0,f(x1)0时,恒有f(x)1.(1)求证:f(x)在R上是增函数;(2)若f(3)4,解不等式
7、f(a2a5)2.思维启迪(1)对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点要构造出f(M)f(N)的形式规范解答(1)证明设x1,x2R,且x10,当x0时,f(x)1,f(x2x1)1.2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1,4分f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2),f(x)在R上为增函数6分(2)解m,nR,不妨设mn1,f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1,8分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24,f(
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