椭圆及其简单几何性质.doc
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1、椭圆及其标准方程1。平面内 ,叫做椭圆。 叫做椭圆的焦点, 叫做椭圆的焦距。2。根据椭圆的定义可知:集合,且 为常数。当 时,集合P为椭圆;当 时,集合P为线段; 当 时,集合P为空集。 3。焦点在x轴上的椭圆的标准方程为。焦点在y轴上的椭圆的标准方程为。其中满足关系为。 练习1判定下列椭圆的焦点在?轴,并指明a2、b2,写出焦点坐标练习2将下列方程化为标准方程,并判定焦点在哪个轴上,写出焦点坐标练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:,焦点在轴上;,焦点在轴上;例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是,并且经过点,求它的标准方程. 例2 在圆x2+y2 =4上任取一点P,向x轴作垂线段PD,D为
2、垂足。当点P在圆上运动时,求线段PD中点M的轨迹方程。轨迹是什么图形?相关点法:寻求点的坐标与中间的关系,然后消去,得到点的轨迹方程. 例3 设点的坐标分别为,.直线相交于点,且它们的斜率之积是,求点的轨迹方程. .知识小结:1、椭圆的定义(强调2a|F1F2|)和椭圆的标准方程 2、椭圆的标准方程有两种,注意区分 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 4、求椭圆标准方程的方法 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:焦点在轴上,焦距等于,并且经过点;焦点坐标分别为,;.椭圆的简单几何性质1.范围 方程中x、y的取值范围是什么? 由椭圆的标准方程可知,椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式1, 1即
3、 x2a2, y2b2所以 |x|a, |y|b即 axa, byb这说明椭圆位于直线xa, yb所围成的矩形里。2.对称性 复习关于x轴,y轴,原点对称的点的坐标之间的关系: 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,y); 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(x, y);点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(x,y);(1) 如果以y代y方程不变,那么当点P(x,y)在曲线上时,它关于x的轴对称点P(x,y)也在曲线上,所以曲线关于x轴对称。(2) 如果以x代x方程方程不变,曲线关于y轴对称。(3) 如果同时以x代x、以y代y,方程不变,曲线关于原点对称。椭圆关于x轴,y轴和原点都是对称
4、的。这时,椭圆的对称轴是什么?坐标轴椭圆的对称中心是什么?原点椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。3.顶点在椭圆的标准方程里,令x=0,得y=b。这说明了B1(0,b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。令y=0,得x=a。这说明了A1(a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。因为x轴,y轴是椭圆的对称轴,所以椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点。线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。它们的长|A1A2|=2a,|B1B2|=2b (a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)4.离心率定义:椭圆的焦距与长轴长的比e,叫做椭圆的离心率。 因为ac0,所以0e1.得出
5、结论:(1)e越接近1时,则c越接近a,从而b越小,因此椭圆越扁;(2)e越接近0时,则c越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ab时,c0,这时两个焦点重合于椭圆的中心,图形变成圆。当e1时,图形变成了一条线段。5.例题 例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,, 填空:已知椭圆的方程是9x2+25y2=225,(1) 将其化为标准方程是_.(2) a=_,b=_,c=_.(3) 椭圆位于直线_和_所围成的_区域里.椭圆的长轴、短轴长分别是_和_,离心率e_,两个焦点分别是_、_,四个顶点分别是_、_、_、_.例2、求符合下列条件的
6、椭圆的标准方程:(1)经过点(-3,0)、(0,-2);(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6例3 点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数,求点的轨迹. 三、课堂练习:比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁?与 与求适合下列条件的椭圆的标准方程.经过点长轴长是短轴长的倍,且经过点焦距是,离心率等于焦点在x轴、y轴上的椭圆的几何性质对比. 课后思考:1、椭圆上到焦点和中心距离最大和最小的点在什么地方?2、点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x= 的距离的比是常数 (ac0),求点M轨迹,并判断曲线的形状。3、若过焦点F2作直线与AB垂直且与该椭圆相交于M、N两点,当
7、F1MN的面积为70时,求该椭圆的方程。椭圆的定义图 形 标准方程焦点坐标a,b,c的关系焦点位置的判断(二)题组训练:题组一:1.在椭圆中,a= ,b= ,焦距是 焦点坐标是 ,_.焦点位于_轴上2.如果方程表示焦点在X轴的椭圆,则实数m的取值范围是 题组二:求适合下列条件的椭圆的标准方程1.a=4,b=1,焦点在x轴上. 2.a=4,c=,焦点在坐标轴上题组三:1.已知两定点(-3,0),(3,0),若点P满足,则点P的轨迹是 ,若点P满足,则点P的轨迹是 .2.P为椭圆上一点,P到一个焦点的距离为4,则P到另一个焦点的距离为 3.椭圆,过焦点F1的直线交椭圆于A,B两点,则的周长为 题组
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- 椭圆 及其 简单 几何 性质
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