注册岩土工程师基础考试培训资料无穷级数和微分方程.ppt
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1、无穷级数,一、数项级数,二、幂级数,讨论敛散性,求收敛范围,将函数展开为幂级数,求和。,1.数项级数及收敛定义:,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数,,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加, 简记为,收敛 ,则称无穷级数,并称 S 为级数的和。,等比级数(又称几何级数),( q 称为公比 ).,级数收敛 ,级数发散 .,其和为,P-级数,2.无穷级数的基本性质,性质1.设 c 是非零常数,则级数,收敛于 S ,则,有相同的敛散性。若,与,收敛于 c S .,性质2. 设有两个收敛级数,则级数,也收敛, 其和为,说明:,(2) 若两级数中一个
2、收敛一个发散 , 则,必发散 .,但若二级数都发散 ,不一定发散.,(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .,(用反证法可证),性质3.,在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数,的敛散性.,性质5:设收敛级数,则必有,可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,*例1.判断下列级数的敛散性:,(比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1) 若强级数,则弱级数,(2) 若弱级数,则强级数,则有,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,是两个正项级数,(常数 k 0 ),3.正项级数审敛法,(比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3
3、) 当 l =,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 时,的敛散性.,例3. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,发散,比值审敛法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,. 根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正项,级数, 且,则,因此级数,收敛.,解:,4.交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 。,5.绝对收敛与条件收敛,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散,
4、则称原级,收敛 ,数,绝对收敛 ;,则称原级,数,条件收敛 .,绝对收敛的级数一定收敛 .,由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知:,交错级数,例5. 证明下列级数绝对收敛 :,证:,而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,判断数项级数敛散的方法,1、利用已知结论:等比级数、P-级数及级数性质,2、利用必要条件:主要判别发散,3、求部分和数列的极限,4、正项级数的审敛法,1)比值审敛法(根值审敛法),2)比较审敛法(或极限形式),5、交错级数审敛法:莱布尼兹定理,6、一般级数审敛法:先判断是否绝对收敛,如果绝对收敛则一定收敛;否则判断是否条件收敛,收敛,发散,1.Abel定理,若幂级数,则对满足不等式,
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