注重数学的整体提升系统思维水平课件.ppt
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1、注重数学的整体性提升系统思维水平,人民教育出版社 章建跃 ,一、关于数学的整体性,整体是事物的一种真实存在形式。 数学是一个整体。 数学的整体性体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上,同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上纵向联系、横向联系。 学生的学习是循序渐进、逐步深入的,概念要逐个学,知识要逐步教。如何处理好这种矛盾,是教学中的核心问题。,例“反比例函数”反映的整体性,学习基础:反比例关系,函数、自变量、函数值等概念,三种表示形式,函数图像的概念,一次函数、二次函数的研究经验(函数的研究内容、过程和方法)。 研究一类函数的内容、过程:背景概念图象与性质简单实际应用。
2、研究方法:特殊到一般、具体到抽象;数形结合(画图像、观察图像得性质等)。,反比例函数概念的抽象过程,概念的引入借助具体事例,从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念; 概念属性的归纳对典型丰富的具体例证进行属性的分析、比较、综合,归纳不同例证的共同特征; 概念的抽象与概括下定义,给出准确的数学语言描述(文字的、符号的);,概念的辨析以实例为载体分析概念关键词的意义(恰当使用反例); 概念的巩固应用用概念解决简单问题,形成用概念作判断的具体步骤; 概念的“精致”通过概念的综合应用,建立与相关概念的联系,将概念纳入概念系统。,上述过程与正比例函数、一次函数、二次函数等概念的抽象过程是一
3、脉相承的。 其实,初中教材中的概念编写思路基本上都按照这个“套路”展开。,反比例函数的图象和性质的研究思路,画出图象,并根据图象和函数表达式探索其性质。,上述过程体现了研究一个数学对象的性质的一般过程与方法。,概念辨析,成反比例的量和关系:xy=k(定值),这里x和y都是可以变化的; 反比例函数:体现的“变化规律”是“变量y随变量x的变化而变化,且它们的积xy保持不变”。 关键词:反比例;函数。 y=1/x2 ,y是x2的反比例函数,对吗? 注意:自变量是x而不是x2;“反比例函数”是“自变量与对应的函数值成反比例关系”。,关于“y=1/x2中 ,y不是x2的反比例函数”,这个问题我们在集体备
4、课的过程中我给老师们提出的时候,有老师提出疑问: 1、为什么不能把x2这个整体看作自变量,是否自变量必须只能是x; 2、y=1/m中,y是m的反比例函数,或许我们可以令m=x2,此时函数变为y=1/x2,因为m=x2,所以y是x2的反比例函数 3、我提出画函数图像的时候,也许不合理,老师说,可以令横轴表示x2即可。 我当时听您讲解的时候,自认为听的比较认真,也认可您的说法,可是面对老师们的提问,我竟然无所适从,不会回答了,二、关于系统思维的培养,数学是一个系统,理解和掌握数学知识需要系统思维。系统思维就是把认识对象作为系统,从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认
5、识对象的一种思维方法。系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思维给我们带来整体观、全局观,具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现。,例 “三角形”研究中的系统思维,定义“三角形”,明确它的构成要素;用符号表示三角形及其构成要素;以要素为标准对三角形进行分类;明确研究对象 基本性质,即研究要素之间的关系,得到 “三角形内角和等于180” 等; 研究“相关要素及其关系”,如“三角形的外角等于不相邻两内角之和”等;,三角形的全等(反映空间的对称性,“相等”是重要的数学关系,也可以看成“确定一个三角形的条件”); 特殊三角形的性质与判定(等腰三角形、直角三角形); 三角形的变换(如相似三角形等);
6、 直角三角形的边角关系(锐角三角函数),解直角三角形; 解三角形(正弦定理、余弦定理)。,把三角形作为一个系统进行研究,明确研究对象(定义、表示、分类) 性质(要素、相关要素的相互关系)特例(性质和判定)联系; 定性研究(相等、不等、对称性等)定量研究(面积、勾股定理、相似、解三角形等)。,培养系统思维,是为了使学生养成全面思考问题的习惯,避免“见木不见林”,进而使他们在面对数学问题时,能把解决问题的目标、实现目标的过程、解决过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样,“使学生学会思考,成为善于认识和解决问题的人才”就能落在实处。,什么叫性质?,性质是指事物所具有的本质,即事
7、物内部稳定的联系。 问题:这里的“事物内部”指什么?“稳定的联系”是怎么表现的?到底怎样才能发现这种“联系”?,从三角形的“内角和为180”、“两边之和大于第三边”、“大边对大角”、“等边对等角”等你想到了什么? “内部”可以是“三角形的组成要素”,“稳定的联系”是指“三角形要素之间确定的关系”。 几何对象组成要素之间确定的关系就是性质。,从“外角等于不相邻两内角的和”、“三条高交于一点”、“等腰三角形三线合一”等又想到了什么? 把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素,这些“相关要素”也可以看成是“三角形的内部”。 要素、相关要素之间确定的关系也是性质。,两个几何事物所形成的某种位置
8、关系所体现的性质,例如两条直线平行,从“同位角相等”、“内错角相等”以及“同旁内角互补”可以想到,这时的“性质”是借助“第三条直线”构成一些角,然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系。 研究两个几何事物的某种位置关系下具有什么性质,可以从探索这种位置关系下的两个几何事物与其他几何事物之间是否形成确定的关系入手。,圆的几何性质,要素、相关要素:圆心、半径、直径、弧、圆心角;弦、圆周角 你认为可以怎样引导学生发现和提出值得研究的命题?,同(等)圆的直径大于不经过圆心的任何一条弦; 垂直于弦的直径平分弦,并且平分这条弦所对的两条弧; 在同(等)圆中:弧相等则所对的弦相等,
9、且弦心距也相等;两条劣弧不等,则大弧所对的弦较大(弦心距较小);逆定理也成立。 切线垂直于过切点的半径。 过圆外一点所作圆的两条切线长相等。 你能发现一些与圆心角相关的定理吗?,从培养系统思维的要求出发设计教学,以数学知识的发生发展过程为载体,按学生的认知规律设计教学,使学生经历研究一个数学对象的基本过程,提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力,培养认识和解决问题的能力。数学化的过程,相似,对内容的认识 初中几何,包括图形的认识、测量、运动或变化、性质和证明以及位置等。 相似是“图形的变化”的主要内容,研究的主题是图形形状之间的关系,图形的位似还涉及图形的位置关系,因此也是“图形的认识”的深
10、化;投影与视图则是在三维图形与二维图形的转化中,体现出“图形的变化”。,两种“图形的变换”,轴对称、旋转或平移变换:改变了图形的位置但不改变图形的形状和大小; 相似变换:改变了图形的位置和大小,图形的形状则保持不变。,三角形的相似是“相似”的核心内容。 “相似”与“全等”一般与特殊。 类比全等三角形,安排相似的内容,引导学生探索相似三角形的判定和性质及在实际测量中的应用。 位似图形是一种具有特殊位置关系的相似图形,可用来放大或缩小图形;在直角坐标系中研究位似,用坐标之间的关系表示位似,渗透用代数方法研究几何变换的思想。,“相似”的内容结构,图形的相似,通过生活实例,在学生感受相似图形的基础上,
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