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1、清华大学大学数学竞赛培训教材1,2,3,5章及其经典习题第一部分 例题精讲与习题第一章 极限与连续性1.1基本概念与内容提要1) .极限存在的条件:左极限等于右极限。相关联的题型:(1)函数连续性和可导性的判断及应用;(2)求函数的间断点:第一类间断点(左右极限存在):a可去间断点:左右极限存在且相等但函数在该点无定义或函数值不等于极限值。b跳跃间断点:左右极限存在但不相等。第二类间断点:除第一类间断点以外所有的间断点;(3)用定义求导数,若存在,则函数在处可导且。所以,判断可导性就是判断极限是否存在;(4)求函数的渐近线:水平渐近线:,则y=A是f(x)的水平渐近线;铅直(垂直)渐近线:,则
2、是的铅直(垂直)渐近线;斜渐近线:其中;斜渐近线最多有两条,水平渐近线最多有两条,水平渐近线与斜渐近线的总条数最多有两条。2).连续函数的极限3).常用极限: 4) .极限的四则运算5) 恒等变形、约去零因子、有理化等常用化简方法6).极限存在准则(夹逼定理、单调有界定理)7).两个重要极限及其变形:8).洛比达法则(重点),常与洛比达法则一起交替使用,常考的共有七种不定式极限:型,常用方法:约去零因子;等价无穷小替换;变量代换;洛比达法则;恒等变形型,常用方法:分子分母同时除以最高次幂项;变量替换;洛比达法则型,常用方法:通分;倒代换;有理化型,常用方法:变形;变量代换;取倒数化为型型,常用
3、方法:取对数化为型;恒等变形;变量代换型,常用方法:取对数化为型;恒等变形消除不定式;利用重要极限;等价替换型,常用方法:取对数化为型;利用重要极限9). 无穷小得比较设,则即为无穷小量,(1)若,则称当时是比高阶的无穷小,记为,或者说当时是比低阶的无穷小;(2)若,则称当时是与同阶的无穷小。特别的,当C=1时,称当时与是等价无穷小,记为;(3)若,则称当时是与的k阶无穷小。等价无穷小替换求极限(注意:有界函数与无穷小的积是无穷小):等价无穷小是指在乘积型极限中,一个无穷小因式可以用与它等价的无穷小因式代替。常用等价无穷小:当时, 。注意:高阶无穷小、k阶无穷小的判断及应用。补充:无穷大量比较
4、:当时,无穷大的阶数由低到高排列为:;当时,无穷大的阶数由低到高排列为:。9) .利用泰勒公式、中值定理求极限,求极限常用迈克劳林公式有:10) .利用定积分的定义求极限11) 证明数列极限存在的方法:夹逼定理单调有界定理级数敛散法:若级数收敛,则存在级数收敛的必要条件:若级数收敛,则。补充:给定数列,则存在的充要条件是级数收敛。所以,判断数列的敛散性可以转化为判断级数的敛散性。12) 抓大头公式:,数列极限也可用。13) 中值定理求极限:关键是将欲求的极限写成中值定理的形式,在求函数式具有规律比或其分子分母之项具有中值定理那样的关联或函数式非常复杂难以化简时,尤其是像求类未定的极限如,可以考
5、虑使用中值定理。14) 利用级数收敛的必要条件求极限:若收敛,则。求极限可以转化为求定积分、判断级数的敛散性等。1.2例题选讲例1:。解:方法一:由拉格朗日中值定理得,其中在与之间,当时方法二:先处理一下,在使用等价无穷小和洛比达法则例2.求。解:使得,例3.设,则=_.解:使得,当时,例4. .例5.求极限。解:当时,即,又,由夹逼定理得例6.证明:数列收敛,并求其极限。证明:设该数列通项为,则,令,则f(2)=2,由拉格朗日中值定理得:存在介于x,2之间,使得,由题意得,即,则由且,由夹逼定理得即,同理可得,所以,即原数列的极限为2。例7.设函数,又设分别是的反函数的不可导点中横坐标最小者
6、和最大者。求:(1)求;(2)设,求。解:(1),g(x)的不可导点即不存在或的点的取值,显然,又,不存在,同理可得不存在,在处均不可导,(2)由题意得,又,例8.求极限。解:由介值定理得使得,例9.求极限。解:例10.求极限。解:由泰勒公式得,例11.当时,无穷小量关于x的阶为_。解:是关于x的阶。例12.设函数f(x)满足,且,求证:。证明:由得f(x)单调递增,。例13.求函数的表达式。解:当时f(x)=1;当时;当时;当时,若n为偶数,若n为奇数当时该极限不存在,即不存在;又,当时,若n为偶数,若n为奇数不存在;当时,若n为偶数,若n为奇数不存在;故,其定义域为例14.已知,则=_。解
7、:分子,分母,。真题演练:设其中,求。答案:例15.求。解:由迈克劳林公式得:例16.求。解:例17.求解:设,则例18.设,求的值。解:又例19.已知有整数使极限,求。解:由极限的存在性得,例20.求解:原式例21.求解:原式例22.求。解:设又又即例23.求解:原式例24.求解:例25.求解:原式例26.设f(x)在R上连续,求证:使得。证明:令,则使得,由零点定理得:使得即例27.求解:=例28.若函数在处可导,且求。解:=1+例29. 设除与两点外,对全体实数有定义,且满足,求函数。解: (1) ,将代换成, (2)代换成, (3)(1)+(3)-(2)得=即例30.设 ,证明: 存在
8、证明:单调增加,设 单调有界,存在.例31. 为自然数,在0, 上连续,试证:存在,使。证明:当=1, 存在,使,结论成立;当1,令,在0, -1上连续, 存在最小值m和最大值M,mM由介值定理,存在(即有),使=即有,使=0,即.例32.如果f(x)是上的周期函数,且,求f(x)。解:对使由得:例33.求解:,当时有界,例34.求解:时例35.求解:原式例36.求解:原式例37.求解:原式例38.求极限解:原式例39.设证明:存在,并求此极限值。证明:令x=1得:,即单调递减且有下界,存在设,对两边同时取极限得,解得例40.设,求。解:设,则由数学归纳法可得,例41.设,求。解:由及数学归纳
9、法得得,又,即,即例42. 设存在,且,求的值。解:由得:由得:,由得: 例43. 计算 解:例44. 已知在的邻域内为可导函数,且求极限。解: 例45. 求极限解: 例46. 计算:解:例47. 求极限解: 由此得到:原式例48. 设函数具有二阶连续导函数,且,. 在曲线上任意一点()作曲线的切线,此切线在轴上的截距记作,求解:过点的曲线的切线方程为:注意到由于,所以时. 因此切线在轴上的截距为:,且;将在处展成泰勒公式得:,在与之间;将代入得:,在与之间;例49. 解: 例50. 求解:例51. 已知极限,试确定常数和的值。解:法1:,又,原式可知:,.法2:运用洛必达法则可知:原式故,.
10、例52. 设,求解:设则例53.求 。解:例54. 设函数满足,且对时,有,证明:(1)存在(2)。证明:(1)递增,f(x)单调且有界,所以存在(2)由得:例55. 设函数是由()确定,求。解:由题意得:当时且例56. 求极限解:例57. 求极限解:由麦克劳林公式得:例58. 求极限,其中n是给定的自然数。解:例59.设数列满足:,则_。STOLZ(施托尔茨定理):推论:例60. 设,(). 证明存在,并求之.分析:证明数列极限存在的方法:夹逼定理单调有界定理级数敛散法:若级数收敛,则存在级数收敛的必要条件:若级数收敛,则。给定数列,则存在的充要条件是级数收敛,所以,判断数列的敛散性可以转化
11、为判断级数的敛散性。下面对各种解法给出示例。证明:方法一(单调有界定理).由题意得,对于一切的恒有,因此知数列有界;又, 于是可知与同号,故当时数列单调递增;当时数列单调递减. 即数列为单调数列,从而数列必有极限.设,则,解之得,即.方法二(级数敛散法)由方法一得由正项级数的比值判别法得:级数绝对收敛,收敛,以下同方法一。方法三(级数收敛的必要条件)由正项级数的比值判别法得:级数绝对收敛即例61. 设,求证:(1)对于任意自然数n,方程在内仅有一解;(2)设满足,则。证明:(1)在上连续,根据介值定理得使得。由得在上递减,故根唯一。(2)故当nN时,由在上递减得又例62.设函数f(x)可导,且
12、f(0)=0,,求。解:令则例63.求解:例64. 设函数f(x)在(-L,L)上连续,在x=0处可导且; (1)求证:对于任意给定的0x0,b0。5.求。6.求。7.设,定义,求。8. 设,在处连续,则 9. 10. 计算。11.已知,则=_12. 13. 若当时,的导数与为等价无穷小,求。14.设,求15. 求16. 求极限。17. 设函数f(x)在点a处可微,且,试求。18. 求极限。19.若,则_。20. 设要使函数在区间上连续,则 .21. 已知,则_。22. 计算23. 求极限24.第二章 微分学2.1.基本概念与内容提要1.导数的概念:2.平面曲线的切线和法线方程3.一元求导法则
13、(1).参数方程的导数:所确定的函数的一阶、二阶导数分别是:(2).求隐函数的导数的方法:方程两边同时对x求导,要记住y是x的函数,求导时别忘了;公式法:由得利用微分形式不变性,对方程两边同时取微分,然后解出。(3).反函数求导:,(4).高阶导数的求法:求一元函数的高阶导数:利用直接法、函数的麦克劳林展开式或递推公式,。展开成幂级数(两种方法、两种类型)之后直接求导。求分式有理函数的高阶导数:先将有理假分式通过多项式除法化为整式与有理真分式之和,再将有理真分式写成部分分式之和,最后仿的表达式写出给定的有理函数的n阶导数;求由三角函数通过四则运算构成函数的高阶导数:利用三角函数中积化和差与倍角
14、公式把函数的次数逐次降低,最后变成之和或之差的形式,再用公式,将给定函数的n阶导数写出来。几个常见高阶导数公式:4.必须掌握的三种常见变限函数求导是:,则;,则,;,方法是变量代换,令则,;,方法也是变量代换,令则,5.利用导数判断函数单调性:导函数大于0原函数递增,导函数小于0原函数递减。6.极值的判别方法(1) 极值的定义例.设f(x)在x=0的某邻域内连续,且,则在点x=0处f(x)( )A不可导 B可导,且 C取得极大值 D取得极小值解:由极限的存在性得f(0)=0,又由极限的保号性得:,f(0)是极小值。(2) 利用导数判断单调性后得出极值点:导函数在极值点的左右符号不同(3) 用高
15、阶导数判断极值:设,若则为极小值;若则为极大值7.函数的最值:闭区间内最值可能出现在极值点、断点8.函数图象的凹凸性与二阶导数有关:正凹负凸;凹凸性改变的点(二阶导数改变符号的点)即为拐点。补充:不动点为点;零点为的点;驻点为的点;极值点为改变符号的点;拐点为改变符号的点。6.多元函数微分学及应用7. 多元函数微分学在几何上的应用:方向导数与梯度:8.多元函数的极值及其求法:拉格朗日乘法求极值:函数在条件下极值的求法:令由,求解的驻点就可能是极值点,三元函数同理。9.高数中处理中值定理的四种思维定势1) 在题设条件下若函数f(x)二阶或二阶以上可导,“不管三七二十一”,把f(x)在指定点展开成
16、泰勒公式再说。2) 在题设条件或欲证结论中有定积分的表达式时,则先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。3) 在题设条件下若函数f(x)在上连续,在上可导,且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0,则先用拉格朗日中值定理或洛尔定理处理一下再说。如:若f(a)=0,则或若f(a)=f(b)=0可得4) 对定限或变限函数,若被积函数或其主要部分为复合函数,则先做变量代换使之成为简单形式再说。例:设函数f(x)在a,b上有连续的导数,且,求证:。证明:由思维3, ,。10.零点定理证明:1).一般用连续函数介值定理证。证明(或由已知)f(x)在上连续且,则至少存在一点使。2).证明f(x
17、)至多几个零点:设函数f(x)有k个零点,则有k-1个零点,有k-2个零点,, 有1个零点,没有零点。注:函数只有连续性,考虑用零点定理、介值定理。函数一阶可导考虑用罗尓定理、中值定理。函数二阶或二阶以上可导,考虑用泰勒公式或对低一阶用中值定理或罗尓定理。11.中值定理证明:第一积分中值定理:,使得第二积分中值定理:,使得又叫广义积分中值定理。1).欲证结论:至少存在一点使得的命题。思路一:验证在上满足罗尔定理条件,由该定理即可得证;思路二:验证为的最值或极值点,用费马定理即可得证。2).欲证结论:至少存在一点使得及其代数式的命题。思路提示:作辅助函数;验证满足罗尔定理条件;由定理的结论即可得
18、证。构造辅助函数的方法:(1)原函数法:将欲证结论中的换成x;通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式(或称之为易积分形式);用观察法或积分法求出原函数(即不含导函数的式子),为简便积分常数取作0;移项使等式一边为0,则另一边即为所求辅助函数。(2)常数k值法:令常数部分为k;恒等变形,使等式一端为a及f(a)构成的代数式,另一端为b及f(b)构成的代数式;分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式,若是只要把端点a改成x,相应的函数值f(a)改成f(x),则换变量后的端点表达式就是所求辅助函数F(x)。3).欲证结论:至少存在一点且满足某种关系式的命题。思路:使用两次拉格朗日中值定理或者
19、柯西中值定理,或者一次拉格朗日中值定理、一次柯西中值定理,然后再将它们做某种运算。4).用拉格朗日中值定理求极限:关键是将欲求的极限写成中值定理的形式。例:。解:由拉格朗日中值定理得,其中在与之间,当时5).用积分中值定理求极限例1.求。解:使得,例2.设,则=_.解:使得,当时,6).用泰勒公式求极限7).泰勒公式的乘法和长除法:例:将展开到项。解:方法一:,方法二:长除法。练习:用长除法可得8). 泰勒公式在微分有关证明题中的应用:泰勒公式是高等数学的一个重要内容,它在近似计算、极限运算、微积分证明、级数与广义积分的敛散性判断等方面有着广泛的应用。泰勒公式建立了函数及其导数之间的联系,使用
20、时,展开点通常选择在区间的端点、中点、极值点和已知点。常考的一些题型有:利用泰勒展开式求高阶导数求极限判断级数的敛散性判断无穷小的阶数利用展开式进行证明,常与连续函数的介值定理、最大值和最小值定理、费马定理等中值定理结合使用。若函数f(x)在含有的某个开区间(a,b)内存在n+1阶的导数,则当x在(a,b)内时, f(x)可以表示为其中叫做拉格朗日余项,这里是介于x与之间的某个值。或者叫做皮亚诺余项。在证明题中一般用带拉格朗日余项的泰勒公式。9) .泰勒公式在微分问题中关于等式的证明例1. 设函数f(x)在a,b上有三阶连续导数,试证:存在一点,使得此题可用k值法构造辅助函数来解决。在此使用泰
21、勒公式来证明。思路分析:题目给的条件很简单,又是三阶(高阶)可导,具备泰勒公式的条件,关键是怎样选择合适的点。观察到结论中出现了,不妨取,而a,b是两个特殊点,也应满足泰勒公式。证明:由条件得:f(X)在处的泰勒公式为这里介于x与之间。当x=a,x=b时分别有其中,介于a与之间,介于与b之间。式(2)减去(1)得因为在a,b上连续,由介值定理得:存在使得所以在证明微分中的等式问题时,其条件都是高阶(二阶或二阶以上)可导或可微,其关键是要根据已知条件,选择恰当的,然后使用泰勒公式,就可得到所要的结论。10) 泰勒公式在微分问题中关于不等式的证明例2. 设函数f(x)在0,1上二次可微,且f(0)
22、=f(1)=0,求证:存在一点使得。思路分析:f(x)在0,1上二次可微且有最小值,所以在(0,1)内一定有极值点,该点的导数为0。又高阶可导,想到泰勒公式,要证的结论中无一阶导数,故选最小值点为。证明:由题意,不妨设为f(x)在0,1上的最小值点,则。f(x)在处的泰勒公式为:即,这里介于x与之间。分别令x=0,1得:其中,由f(0)=f(1)=0得所以,当时,当时综上所述,存在一点使得。另解:由题意得在0,1上连续,由介值定理得使得,在证明微分问题的不等式问题时,其条件只要是高阶(二阶或二阶以上)可导或可微,利用泰勒公式处理问题时,其关键是要根据已知条件,选择恰当的,将泰勒公式进行适当的放
23、大或缩小,就可以接近目标,使问题得以解决。(11).泰勒公式在微分问题中其他问题的证明例3.设函数f(x)在R上三阶可导,且和f(x)有界,求证:也有界。思路分析:该题条件是函数f(x) 高阶(三阶)可导,应能想到利用泰勒公式求解。其关键是如何选择合适的点,并要选择在某处将函数展开,并恰好约掉多余项,利用和f(x)有界的条件,从而得到结论。注意到x+1,x-1与x正好相差1和-1,不妨取且x取时,利用泰勒公式,约掉其中一个未知量,即可得到另一个未知量的结论。证明:根据题目条件,f(x)在处的泰勒公式为这里介于x与之间。分别取且x取有:其中两式相加消去得两式相减消去得由和f(x)有界,可知也有界
24、。这类问题的证明,使用泰勒公式时有一定的技巧性,要多注意归纳、总结,才能灵活使用泰勒公式解决问题。(12)利用泰勒展开式判断级数的敛散性:例:判断级数的敛散性。解:,三个级数都收敛,故原级数也收敛。在判断级数的敛散性时,可以利用泰勒公式展开,很容易判断一般项趋于0的速度,在级数敛散性的题目中用泰勒公式判断应用很广且是一种有效的方法。12.中值定理的常用方法总结:1) .所证式仅与相关观察法与凑方法原函数法一阶线性齐次方程解法的变形法2).所证式中出现两端点凑拉格朗日柯西定理k值法泰勒公式法老陈常说的一句话,管它是什么,先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时,泰勒法往往是可行的,而且对于有些题
25、目,泰勒法反而会更简单。3)、所证试同时出现和两次中值定理柯西定理(与之前所举例类似)有时遇到和同时出现的时候还需要多方考虑,可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用,在习题里经常出现类似的题。2.2.例题选讲例1.是否存在可微函数f(x)使得,若存在,请求出f(x)的解析式;若不存在,请给出证明。解:令,当时,由g(x)=0得x=1(x=-1舍去),是g(x)=0的唯一解。令f(1)=t,则g(1)=f(t)-1=0,则,另一方面,与矛盾,所以不存在满足题意的f(x)。例2.设,且,证明:使得。证明:例3.设函数f(x)在R上可微,且f(0)=0,证明:。证明:由拉格朗日中值定理得介于0,x之
26、间,当时,在上连续,在上有界,又当时,同上依次可得当时同理,依次可得,所以例4.设函数,则f(x)在R上的不可导点为_。解:当时,当时,当时,显然f(x)的不可导点为例5.当时,求证:。证明:令,则递增,即例6.求的n阶导数。解:设,则,当nk时,由得:例7.设f(x)在上由连续的二阶导数,且二元函数满足。求:(1)f(x);(2)f(x) 在上的最大值。解:(1)设,则,令,则令,则,解得由得(2),当1xe时在上递增,在上递减,的最大值为。例8.设x(t)是方程的解,证明:函数有最大值,并求出此最大值。解:解原微分方程:特征根方程为,解得,则,又对于,若,则,最大值为0;若,则不全为0,不
27、妨设,取则,当时,又,由连续函数的介值定理得:使得,此时,时,f(t)的最大值为。综上,当时最大值为0,当时最大值为。例9.设,其中m,n是正整数,则_。解:令,则,当k0时,例10.设,求解:,令,则例11.求一函数f(x),使其在任一有限区间上有界,且满足解:令x=0得f(0)=0,对原方程求导得:令x=0得例12.设f(x)在R上无穷阶可导,且满足(1)使得(2),求证:。证明:记,由题意得在x=0处连续,由罗尓定理得使,且,由罗尓定理得使,且同理,可得对有介于0,x之间,级数收敛,例13.设f(x)在a,b上二阶可导,求证:使得证明:将f(x)在x=a,x=b处用泰勒公式展开得介于x,
28、a之间,介于x,b之间,两式相减得设,则例14.已知函数f(x)在a,b上二阶可导,对于a,b内每一点x,有,且在a,b的任一子区间上f(x)不恒等于0,求证:f(x)在a,b中至多有一个零点。证明:方法一:设f(x)在a,b上有两个零点,令,则单调递增,有,积分得,由得C=0,有,与题意在a,b的任一子区间上f(x)不恒等于0矛盾方法二:设是f(x)在a,b上的两个相邻零点,即在之间无其他零点,不妨设对有f(x)0,则在上递增,在的右邻域内在的左邻域内递增,与矛盾。例15. 在上连续在()内可导且求证:存在使证明:令,在上连续,在()内可导,且,由罗尔定理得使,即 例16. 设一元函数当时有
29、连续的二阶导数,且,又满足方程,试求的表达式。,注 ,称为(三维)拉普拉斯方程,又名调和方程、位势方程,是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。在一般条件下解拉普拉斯方程超出考试范围。本题是讨论特殊条件下的拉普拉斯方程求解问题。补充题1:设,。分析:函数是的函数,可以考虑用极坐标进行转化,利用求微分方程的方法得到表达式。解:令,则,同理可得积分得补充题2:例17. 设,是可微函数,若,证明仅为r的函数,其中。, 例18. 设函数的所有二阶偏导数都连续,且,求.解:两边对求导,得到:,代入 求得:;两边对求导,得到:;两边对求导,得到 .以上两式与联立,又二阶导数连续,所以,故
30、 例19. 设变换把方程化为,求.解:计算一、二阶偏导数:, , , ,代入方程,得到于是有,所以.例20.求函数在点处的100阶导数值.解:方法1:利用莱布尼兹公式 ,而 , , ,由归纳可得:,故;所以.方法2:利用泰勒公式故,.例21. 设有一阶连续偏导数,证明:.解:设:,则 类似可得, 代入原式左边得: 例22. 已知函数z=z(x,y)满足,设,对函数,求证:。证明:由题意得,则是u,v的复合函数,则例23. 设整数n1,求证:。证明:先证右边, ,在(0,1)上递增,得证。再证左边,则在(0,1)上递增,在(0,1)上递增,得证。故,。例24. 证明不等式,.证明: 设,则令,得
31、到驻点. 由可知为极小值点,亦即最小值点,最小值为,于是对任意有,即所证不等式成立.例25. 证明:当时,.证明:令,则,由于在上,故知在上单调递增,又,故,从而函数也在上单调递增,且由可知当时,即。例26. 试确定a值,使方程在-1,1上有两个相异的实根。解:f(x)在-1,1上是偶函数,则f(x)=a在(0,1上仅有一个根。在(0,1上,在(0,1上单调递减,的最小值是,最大值是由题意得例27. 设正值函数在上连续,求函数的最小值点。解:注意到:在上,因此当时,.令得,解得此方程的唯一驻点; 又当时,;当时,所以在点处取得最小值.例28. 设,试证明在区间上有且仅有两个实根.证明: 由,代
32、入得:由于是偶函数,所以是奇函数,是偶函数,于是知为偶函数. 又注意到:,()因此函数在内有且仅有一个实根;又由为偶函数,故在内同样有且仅有一个实根. 于是知函数在闭区间上有且仅有两个实根.例29.设常数,证明:当且时,.证明:设函数,故要证,只需证:当时,;当时,. 显然:,命,则. 当时,为唯一驻点;又,所以为的唯一极小值点,故为函数的最小值(),即当时,从而严格单调递增.又因,所以当时,;当时,.故,。例30. 设f(x)二次可微,f(0)=f(1)=0,证明:。证明:函数f(x)在0,1上连续,有最大值和最小值,又因最大值是2,端点处函数值是0,故最大值在(0,1)内部取得。即存在使得
33、,于是是极大值,在处按泰勒公式展开,使得例31. 如果f(x)在a,b上有二阶导数,证明:使得。证明:应用泰勒公式将分别在点a,b处展开,注意到,使得两式相减得其中当时;当时例32. 设f(x)在上有二阶连续导数,且当时,求证:。分析:对于函数具有二阶或二阶以上连续导数,且最高阶导数的大小或上下界已知的命题可以考虑用泰勒公式。方法是写出比最高阶低一阶的函数展开成泰勒公式,适当选取等式两边的变量,根据已知条件对展开式进行放缩。证明:由题意将f(x)在任一点处展开成一阶泰勒公式得:其中在x,之间。令x=0,则令x=1,则将上面两式相减得:又时,由于的任意性知。例33. 设f(x)在上是非负单调递减
34、的连续函数,且0ab0,证明:。证明:设函数在处取得最大值,把最大值点在任意点处展开得:两边积分得因为是f(x)的最大值,所以。例38. 设函数f(x)在a,b上二阶连续可导,且,证明:。证明:令,由得在区间上分别用拉格朗日中值定理得例39. 设函数f(x)在0,1上有一阶连续导函数,且f(0)=f(1)=0,求证:。证明:令,由拉格朗日中值定理得:例40. 设函数且不恒为0,求证:证明:构造辅助函数令单调递增,单调递增,单调递增,即例41. 设,求证:。证明:设,则令得驻点,当时,当时,f(x)在上递减,在上递增,是函数的最小值,又,所以。例42. 已知函数f(x)在上二次连续可微,f(1)
35、=0,证明:。证明:f(x)在x=1处展开得例43. 设在0,1上连续,在(0,1)内二阶可导,且,满足。证明:在0,1上恰好有两个零点。证:因为,则在内不能同号,从而由闭区间上连续函数的性质知,在内至少有一个零点。假定是在内的唯一零点,不妨设当时,当时,则,但是,矛盾。所以,在内至少有两个零点。如果在上至少有3个零点,设为,则,则罗尔定理知,存在点,使。对在上应用罗尔定理知,存在,使得,这与矛盾。所以,在上恰好有两个零点。例44. 设函数在区间上具有二阶导数,且,(). 证明.证明:对任意,及任意的,使得,于是有 ,其中.即 ; 故 ,令 ,下面求其最小值:由得到. ,所以在处得极小值,亦即
36、最小值且最小值为, 故 例45. 设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且,试证明:对于任意给定的正数和,在开区间内存在不同的和,使得证明:取数,由连续函数介值定理知,存在,使得. 在区间与上分别应用拉格朗日中值定理有,显然;于是 注意到且,代入上式得.例46. 设函数在上有连续导数,且,证明:。证明:设由拉格朗日中值定理得,例47. 设函数f(x)在上有二阶导数,且满足,证明:对任意有。证明:利用泰勒公式,对有例48. 设f(x)在上有二阶连续导数,且,证明:。证明:由得使得,利用泰勒公式展开得:例49. 设f(x)在上有二阶可导,且则在内必存在一点使得。证明:由泰勒公式得:令,则故例50.
37、 设函数在闭区间上具有连续的二阶导数,证明:,使得证明:将函数在点处作泰勒展开,并分别取和得到,其中;,其中.两式相加得到由于连续,由介值定理知,存在,使得,从而得:即.例51. 设函数在闭区间上具有二阶导数,且,证明:存在一点,使得.证明:在区间和上分别对函数应用拉格朗日中值定理得使;使. 注意到,因此,. 命则在区间上可导,且, , 故在区间上的最大值,且. 由费马引理知. 而故由于,所以,从而.例52. 设f(x)在区间上具有二阶连续导数,f(0)=0,证明:在上至少存在一点使得。证明:由泰勒公式得:在上连续,故在上有最小值m和最大值M,故即,由介值定理得,使得例53. 设连续且,u(x
38、)是曲线y=f(x)在点(x,f(x)处的切线在x轴上的截距,试求极限。分析:当时所求极限为型未定式,可考虑用等价无穷小和洛必达法则,因此要对变上限函数的定积分求导,所以先要求出,进而可利用的泰勒公式求得极限。解:曲线在点(x,f(x)处的切线方程为:,注意到由于,所以时. 令Y=0得切线在轴上的截距为:,且,将在处展成泰勒公式得:,在与之间;将代入得:,在与之间; 例54.若且,其中k为常数且0k1,设,证明:(1)存在唯一的使得f(x)=x;(2)分析:证明存在性的方法有很多,一般来说,和函数有关的可以利用连续函数的介值定理,和导数有关的可以利用中值定理。证明:(1)由知f(x)连续,所以
39、g(x)=f(x)-x连续,由于,由介值定理得:使得g(x)=0即f(x)=x。假设另有,则矛盾。这就说明,存在唯一的使得f(x)=x。(2)由夹逼定理得例55. 设f(x)在上连续,在(a,b)上可导,证明:在(a,b)内至少存在两点使得。证明:由柯西中值定理得同理可得即例56. 设函数f(x)在R上有界且导数连续,又对于任意实数x有,证明:。证明:令,即,积分得即例57.设在a,b上连续,f(x)在(a,b)内二阶可导,求证:(1)在(a,b)内至少存在一点使得;(2)在(a,b)内至少存在一点使得。证明:(1)法一.由积分中值定理得:使得,设,则g(x) 在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,由罗尓定理得:使得,而,所以,在(a,b)内至少存在一点使得。法二.令,则,由罗尓定理得:使得,即。(2)由(1)得令,则F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,由罗尓定理得使得,又,所以且。例58. 若函数f(x),g(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,且,证明:存在使得。证明:令,
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