《状态空间表达式解.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《状态空间表达式解.ppt(51页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、第2章 控制系统状态空间表达式的解,2.1 线性定常连续系统齐次状态方程的解,2.6 线性离散系统状态方程的解,2.2 线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法,2.3 线性定常连续系统非齐次状态方程的解,2.4 线性时变连续系统状态方程的解,2.5 线性连续系统状态方程的离散化,2.1 线性定常连续系统齐次状态方程的解,2.1.1 齐次状态方程的解,u=0,1、直接求解,设 n=1,解为x(t)=eatx0,且eat=1+at+a2t2/2!+,对于 n阶,,解为X(t)=eAtX0,eAt=I+At+A2t2/2!+,矩阵指数函数,证明:,设X(t)解的形式为,X(t)=b0+b1t+ b2
2、t2+ bktk+,代入状态方程,b1+2b2t+ 3b3t2+ kbktk1+=A( b0+b1t+ b2t2+ bktk+),b1= A b0,2.1.1 齐次状态方程的解,b1= A b0,令t=0, X(t)=b0+b1t+ b2t2+ bktk+ ,X(0)=b0=X0,将上述结果代入X(t),X(t)= (I+At+A2t2/2!+ )X0= eAtX0,若t00,则 X(t)=eA(tt0)X(t0),2、拉氏变换法求解,SX(S)X(0)=AX(S),(SIA)X(S) =X0,X(S) =(SIA)1X0,对上式取拉氏反变换,X(t) =L1(SIA)1X0 = eAtX0,
3、X(t)=eAtX0,2.1.1 齐次状态方程的解,记为: (t)=eAt (tt0)= eA(tt0),状态方程解: X(t) = (t) X0 X(t) = (tt0) X(t0),状态转移曲线,2.1.2 状态转移矩阵,状态转移矩阵满足的条件:,(0)=I,eAt= L1 (SIA)1,X(t)=eA(tt0)X(t0),状态转移矩阵: eA(tt0)或eAt,2.1.2 状态转移矩阵,1、状态转移矩阵的性质:设t0=0,(1)(0)=I,根据定义得证,eAt=I+At+A2t2/2!+,证明:根据定义,(t) =eAt=I+At+A2t2/2!+,=A(I+At+ Ak1tk1/(k1
4、)!+ ),= A (t) = (t) A,(3) (t1+t2)= (t1) (t2),证明:,(t1+t2)=eA(t1+t2)= I+A(t1+t2 )+A2 (t1+t2) 2/2!+,=(I+At1+A2t12/2!+) (I+At2+A2t22/2!+),= (t1) (t2),(4)(t)1= (t),证明:由,(3) (t1+t2)= (t1) (t2),证明:,得 (tt)= (t) (t)=I,(1)(0)=I,(t +t)= (t) (t) =I,所以 (t)1= (t),(5) (t2 t1) (t1 t0) = (t2 t0),右式= (t2 t1+t1 t0),由(
5、3) 得 = (t2 t1) (t1 t0),(t)k= (t) (t) (t)= eAt eAt eAt,= e(A+A+AA)t =ekAt=(kt),(6)(t)k= (kt),1、状态转移矩阵的性质:设t0=0,(7)对于nn阶A和B阵,如果满足AB=BA,则,e(A+B)t=eAteBt,2、几个特殊 状态转移矩阵的性质,(1)若A为对角线矩阵,1、状态转移矩阵的性质:设t0=0,证明:,将对角线矩阵A代入,eAt=I+At+A2t2/2!+中,eAt=,+,+1/2!,+,证明:,(2)若A为mm约当块,(t)=,求(t)1,解:根据,(4)(t)1= (t),作业2-1:已知系统
6、的状态转移矩阵为,(t)=,求系统矩阵A,2.2 线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法,2.2.1 直接计算法,(t) =eAt=I+At+A2t2/2!+,2.2.2 拉氏变换法,(t) = eAt =L1(SIA)1,2.2.3 标准形法,1、矩阵A的特征值互异,P1,eAt=P,P:化A为对角线标准形的线性变换阵,状态转移矩阵为,1、矩阵A的特征值互异,证明:,当A的特征值互异时,必存在一个变换阵P,使,又 eAt=I+At+A2t2/2!+,则 P1eAtP=P1IP+ P1 AtP+ P1 A2t2/2!P+,由于 P1 A2P= P1 APP 1AP,1、矩阵A的特征值互异,同理
7、:,=,所以 P1eAtP=P1IP+ P1 AtP+ P1 A2t2/2!P+,P1 AkP= (P1 AP)(P 1AP),1、矩阵A的特征值互异,=,+,+1/2!,+,所以 P1eAtP=P1IP+ P1 AtP+ P1 A2t2/2!P+,1、矩阵A的特征值互异,P1eAtP=P1IP+ P1 AtP+ P1 A2t2/2!P+,1、矩阵A的特征值互异,例:已知系数矩阵,试求其状态转移矩阵。,解: 1= 1、 2= 2、 3= 3,2、矩阵A有重特征值,A具有m重特征值,则状态转移矩阵为,以A有三重特征值为例进行证明,证明 eAt=I+At+A2t2/2!+,则 Q1eAtQ=Q1I
8、Q+ Q1 AtQ+ Q1 A2t2/2!Q+,=I+ Jt+ J2t2/2!+,eAt=Q(I+ Jt+ J2t2/2!+) Q1,若A具有三重特征值1 ,二重特征值2,单特征值3,,状态转移矩阵,2.2.4 化eAt为A的有限项法,已知 eAt=I+At+A2t2/2!+,则有eAt=a0(t)I+ a1(t)A+ a2(t) A2+ an1(t)An1,a0(t)、 a1(t)、 , an1(t)为待定系数是t的标量函数,若A的特征值互异,则,2.3 线性定常连续系统非齐次状态方程的解,1、直接求解,非齐次状态方程的解,2、拉氏变换求解,SX(S)X(0)=AX(S)+BU(S) 设 t
9、0=0,X(S) =(SIA)1X0+ (SIA)1 BU(S),对上式取拉氏反变换,利用卷积积分,X(t) =L1(SIA)1X0 +L1(SIA)1BU(S),非齐次状态方程的解,例:已知系统状态方程,X0=0,试求在单位阶跃输入(u=1(t))作用下状态方程的解。,解:,(t)=eAt =L1(SIA)1,(SIA)1,eAt =L1(SIA)1,状态方程的解,X(t)=,eAt,2.4 线性时变连续系统状态方程的解,2.4.1 线性时变连续系统齐次状态方程的解,已知X(t0),状态方程的解:,X(t)= (t,t0) X(t0),2.4.2 状态转移矩阵(t,t0)的性质,(1)(t0
10、, t0)=I,证明:将X(t)= (t,t0) X(t0)代入,上式成立的充要条件,即,又,X(t)= (t,t0) X(t0),当t=t0时,,X(t0)= (t0,t0) X(t0),,所以(t0,t0)=I,(2)(t2, t1) (t1, t0) =(t2,t0),证明:X(t)= (t,t0) X(t0),X(t1)= (t1,t0) X(t0) (1),X(t2)= (t2,t0) X(t0) (2),X(t2)= (t2,t1) X(t1) (3),将(1)代入(3)中,X(t2)= (t2,t1) (t1,t0) X(t0)与(2)式比较,则,(t2, t1) (t1, t0
11、) =(t2,t0),(3)1(t, t0) =(t0,t),证明:由性质(1)(2)知,(t, t0) (t0, t) =(t,t)=I,(t0, t) (t, t0) =(t0,t0)=I,故(t, t0) 与(t0, t) 互为逆矩阵。,2.4.3 状态转移矩阵(t,t0)的计算,2.4.3 状态转移矩阵(t,t0)的计算,证明1:,则满足,对上式求导,满足 (t0, t0)=I,2.4.3 状态转移矩阵(t,t0)的计算,证明1: (1)式两边左乘A(t),比较(2)、(3)两式,若使,必满足,又,=I,例:求时变系统的状态转移矩阵(t,0),解:证明,取前面三项近似计算,2.4.4
12、非齐次状态方程的解,状态方程的解,X(t)= (t, t0) X(t0)+(t, t0)(t),证明:应用叠加原理,对上式求导,与状态方程比较,得,证明:,=(t0, t) B(t)u(t),两边积分,X(t)= (t, t0) X(t0)+(t, t0)(t),又 X(t0)= (t0, t0) X(t0)+(t0, t0)(t0),X(t0) = I X(t0)+I(t0),(t0)=0,得证,2.5 线性连续系统状态方程的离散化,2.5.1 线性时变连续系统状态方程的离散化,X(k+1)T=G(kT) X(kT)+ H(kT)u(kT),T满足香农定理:采样脉冲宽度远小于采样周期.,系统
13、具有零阶保持特性:在两个采样瞬时之间的采样值 不变。即,u(t)=u(kT),kTt(k+1)T,推导离散化的状态方程:,已知:,将上式离散化,令t=(k+1)T,t0=hT,代入上式,(1),2.5.1 线性时变连续系统状态方程的离散化,令t=kT,t0=hT,代入 (1)式,得,将上式两边乘(k+1)T, kT,(2)式减去上式,2.5.1 线性时变连续系统状态方程的离散化,令 G(kT)= (k+1)T, kT, u()= u(kT), kT,(k+1)T , X(k+1)T=G(kT) X(kT)+ H(kT)u(kT),Y (kT)=C(kT) X(kT)+ D(kT)u(kT),2
14、.5.2 线性定常连续系统状态方程的离散化,X(k+1)T=GX(kT)+ Hu(kT),G= (k+1)T kT= (T )=eAT,令t= ( k+1)T ,Y (kT)=CX(kT)+ Du(kT),例:试将状态方程离散化。,解:,eAt =L1(SIA)1,(SIA)1=,B=,=,+,u(kT),2.5.2 线性连续系统状态方程离散化的近似方法,T较小,满足精度的条件下,用差商代替微分。,X(k+1)T=I+T A(kT) X(kT)+ TB(kT)u(kT),2.6 线性离散系统状态方程的解,2.6.1 线性定常离散系统状态方程的解,X(k+1)T=GX(kT)+ Hu(kT),1
15、、迭代法,X(0),u(0) X(1),u(1) X(2),u(2),设:X (0),u(0)已知,X(1) =GX(0)+ Hu(0),X(2) =GX(1)+ Hu(1)=G2X(0)+GHu(0)+Hu(1),2.6.1 线性定常离散系统状态方程的解,X(k+1)=GX(k)+ Hu(k),2、Z变换法,对上式进行Z变换,zX(z)zX(0)=GX(z)+HU(z),(zIG)X(z)=zX(0)+HU(z),X(z)= (zIG)1z X(0)+(zIG)1HU(z),=(zIG)1z X(0)+HU(z),Z反变换,X(k)=Z1(zIG)1z X(0)+(zIG)1HU(z),比较两种方法有如下关系,Gk= Z1(zIG)1z ,或X(k)=Z1(zIG)1z X(0)+HU(z),例:求线性定常离散系统的解。已知u(k)=1(k=0,1,2),X(0)=,u (k),=,+,解:方法一,迭代法,方法二,Z变换法,X(k)=Z1(zIG)1z X(0)+HU(z),zX(0)+HU(z)=,u(k)=1,X(z)= (zIG)1z X(0)+HU(z),2.6.2 线性时变离散系统状态方程的解,迭代法,再见!,2-1 已知,求(t)。,22 已知,23 求状态空间表达式的解,求系统矩阵A,
链接地址:https://www.31doc.com/p-2750956.html