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1、1,5.6 综合举例 有理函数和可化为有理函数的积分,有理函数的积分,小结 作业,可化为有理函数的积分,第五章 不定积分,2,基本积分法:,换元积分法;,分部积分法,初等函数,初等函数,例如,下列函数积分都不是初等函数,直接积分法;,在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域,有重要应用的积分,都属于“积不出”的范围.,3,有理函数的定义,两个多项式的商表示的函数称为有理函数.,一、有理函数的积分,假定分子与分母之间没有公因式,真分式;,假分式.,例,4,例,多项式的积分容易计算.,真分式的积分.,只讨论:,多项式,真分式,假分式,多项式 + 真分式,分解,若干部分分式之和,5,(1)分母中若有因
2、式 ,则分解后有,有理真分式化为部分分式之和的一般规律:,特殊地:,分解后为,6,特殊地:,分解后为,7,任意有理真分式的不定积分都归纳为下列,其中A,B, a, p, q都为常数,分别讨论上述几种类型的不定积分.,并设,四种典型部分分式的积分之和.,n为大于1的正整数.,8,9,10,11,这四类分式均可积分,且原函数为初等函数.,由此可看出:,有理函数的积分是初等函数.,系数的确定,一般有三种方法:,(1) 等式两边同次幂系数相等;,(2) 赋值;,12,例 求,解,由多项式除法,有,说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.,假分式,13,例 求,解,比较系
3、数,因式分解,14,15,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例 求,解,(1),(1),赋值,16,于是,17,例 求,解,比较系数,二次质因式,18,19,提示:,解,例,分母是二次质因式的真分式的不定积分,20,例 求,分析,解,原式=,分项,凑微分,从理论上看,可用部分分式法,但计算复杂,故不宜轻易使用,应尽量考虑其它方法.,约去公因子,配方,21,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定 a , b , c , d . 得,第二步 化为部分分式 . 即令,比较系数定 A , B , C , D .,第三步 分项积分 .,此解法较繁 !,例 求,22,技巧,解,原式=,23,
4、三角有理式的定义:,由三角函数和常数经过,有限次四则运算,构成的函数称之.,一般记为,如,二、可化为有理函数的积分举例,1. 三角函数有理式的积分,和分部积分法讨论过一些.,对于三角函数有理式的积分,曾用换元法,是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数,回答是肯定的.,?,24,由三角学知识,可通过变换,事实上,由,半角变换(或称万能代换),则,表示.,化为有理函数的积分.,25,u的有理函数,26,提示:,解,例,27,说明:,并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化为有理函数的积分. 因为这种代换不一定是最简捷的代换.,请看如下积分:,28,例 求,解 法一,回代,29,法二,不
5、用万能代换公式,30,法三,不用万能代换公式,比较以上三种解法,便知万能代换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能代换.,31,例 求,解:,用万能代换很繁琐!,32,例 求,解:,说明: 通常求含,的积分时,往往更方便 .,的有理式,用代换,用万能代换很繁琐!,33,类型,解决方法,作代换去掉根号.,通常先将,配方,再用三角变换化为三角函数有理式的积分或,直接利用积分公式计算.,2. 简单无理函数的积分,34,回代,例,解 令,原式=,35,2. 简单无理式的积分.,有理式分解成部分分式之和的积分.,(注意:必须化成真分式),1. 三角有理式的积分.(万能代换公式),(注意:万能公式并不是最佳代换),三、小结,可化为有理式的积分.,36,作业:,P237 习题5.6 1. 2. 5. 11.,
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