自动控制原理编教材.doc
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1、第二章 自动控制系统的数学模型 2.1 控制系统数学模型的概念 2.1.1数学模型的类型 2.1.2建立数学模型的方法 2.2 控制系统的微分方程 2.2.1线性系统微分方程的建立 2.2.2微分方程的增量化表示 2.2.3非线性微分方程的线性化 2.3 控制系统的传递函数 2.3.1传递函数的概念 2.3.2关于传递函数的几点说明 2.3.3典型环节及其传递函数 2.4 控制系统的结构图 2.4.1结构图的概念 2.4.2结构图的组成和建立 2.4.3结构图的等效变换和简化 2.5 信号流图 2.5.1信号流图的概念 2.5.2梅逊公式 2.6 小结 2.7 习题第七章 线性离散控制系统的分
2、析 7.1 线性离散控制系统的概念 7.2 采样过程和采样定理 7.2.1采样过程 7.2.2采样定理 7.2.3信号复现与零阶保持器 7.3 z变换 7.3.1 z变换的定义 7.3.2 z变换的求法 7.3.3 z变换的基本定理 7.3.4 z反变换 7.4 离散控制系统的数学模型 7.4.1差分方程 7.4.2脉冲传递函数 7.5 离散控制系统的稳定性分析7.5.1离散控制系统稳定的充要条件7.5.2离散控制系统的劳斯稳定判据 7.6 离散控制系统的稳定误差分析 7.7 离散控制系统的动态性能分析 7.8离散控制系统的校正 7.9 小结 7.10 习题第二章 自动控制系统的数学模型自动控
3、制理论在方法上是先把具体的物理系统抽象成数学模型,然后以数学模型为研究对象,应用自动控制理论的方法去分析其性能,并研究改进性能的方法途径。2.1 控制系统数学模型的概念 控制系统的数学模型是描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式。在静态条件下(即变量各阶导数为零),描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型;而描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。如果已知输入量及变量的初始条件,对微分方程求解,就可以得到系统输出量的表达式,并由此对系统进行性能分析。因此,建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的首要工作。2.1.1建立数学模型的方法建立控制系统数学模型的方法有机理分析法
4、和实验法两种。机理分析法是对系统各部分的运行机理进行分析,根据它们所依据的物理或化学规律分别列出相应的运动方程。例如,电学中有基尔霍夫定律,力学中有牛顿定律,热力学中有热力学定律等。实验法是人为地给系统施加某种测试信号,记录其输出响应,并用适当的数学模型去逼近,这种方法称为系统辨识。近几十年来,系统辨识已发展成一门独立的学科分支,本章只介绍用机理分析法建立系统数学模型的方法。2.1.2数学模型的类型在自动控制理论中,数学模型有多种形式。常用的数学模型有微(差)分方程、传递函数(或脉冲传递函数)、状态空间表达式、结构图和信号流图,以及频域中的频率特性等。本章只介绍微分方程、传递函数、结构图等数学
5、模型的建立和应用。系统的数学模型是对系统进行定量分析的基础和出发点。在经典控制理论中,常用的数学模型为微分方程、传递函数和系统结构图。它们反映了系统的输出量、输入量内部各种变量间的关系,也反映了系统的内在特性,它们是经典控制理论中常用的时域分析法、根轨迹法和频率特性法赖以进行分析的基础。合理的数学模型,是指它应以最简化的形式,正确地代表被控对象或系统的动态特性。通常,忽略了对特性影响较小的一些物理因素后,可以得到简化的数学模型。例如,系统中存在的分布参数、时变参数及非线性特性,当它们的影响很小时,则忽略它们之后所得的系统简化数学模型便有一定的准确性;反之,当它们的影响很小时,用简化的数学模型分
6、析的结果往往与实际系统的研究结果相差很大,不能正确代表控制系统的特性。对于一个自动控制系统,简化的数学模型通常是一个线性微分方程式。具有线性微分方程式的控制系统称为线性系统。当微分方程式的系数是常数时,相应的控制系统称为线性定常(或线性时不变)系统;当微分方程式的系数是时间的函数时,相应的控制系统称为线性时变系统。如果控制系统含有分布参数,那么描述系统的数学模型应有偏微分方程。如果系统中存在非线性特性,则需要用非线性微分方程来描述,这种系统称为非线性系统。绝大多数控制系统,在一定的限制条件下,都可以用线性微分方程描述。而线性微分方程的求解一般都有标准的方法,因此,线性系统的研究有重要的实用价值
7、。2.2 控制系统的微分方程2.2.1线性系统微分方程的建立 建立控制系统的微分方程,一般先由系统原理线路图画出系统方块图,并分别列写组成系统的各元件的微分方程,然后消去中间变量,从而得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。列写系统或元件微分方程的步骤如下:(1)根据实际工作情况,确定系统和各元件的输入、输出变量;(2)从输入端开始,按照信号的传递顺序,依据各变量所遵循的物理(或化学)定律列写出在运动过程中的动态方程,一般为微分方程组;(3)消去中间变量,写出输入、输出变量的微分方程;(4)标准化,将与输入有关的各项放在等号右侧,与输出有关的各项放在等号左侧,并按降幂排列,最后将系数归一
8、化为具有一定物理意义的形式;在列写系统各元件的微分方程时,一是应注意信号传送的单向性,即前一个元件的输出是后一个元件的输入,一级一级的单向传送;二是应注意元件与其他元件的相互影响,即所谓的负载效应问题。下面举例说明建立元件和系统的微分方程的步骤和方法。例21 试写出图21所示的串联电路输入、输出电压之间的微分方程。图21 电路图解:(1)确定系统的输入、输出量,输入端电压为输入量,输出端电压为输出量。(2)列写微分方程。设回路电流为,由基尔霍夫定律可得 (2.1)式中,分别为上的电压降。又由 可得出 (2.2)(3)消去中间变量,得出系统的微分方程。考虑,根据电容的特性可得: (2.3)将式(
9、2.3)代入式(2.2),可得到系统的微分方程为 (2.4)令,则式(2.4)可改写为 (2.5)可见,此无源网络的动态数学模型是一个二阶常系数线性微分方程。例22 电枢控制式直流电动机原理图如图22所示。试列写当取电枢电压为输入量,电动机角速度为输出量的直流电动机的微分方程。图中,分别是电枢电路的电阻和电感;是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通设为定值。解:电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能。对于图22所示的电枢控制式直流电动机,其工作过程为,输入的电枢电压在电枢回路中产生电枢电流,流过电枢电流的闭合线圈与磁场相互作用产生电磁转矩,带动负载转动。因此,电枢控制式直流电动机的运动方
10、程可由以下三部分组成:(1)电枢回路电压平衡方程 (2.6)式中是电枢反电势,它是电枢旋转时产生的反电势,其大小与励磁磁通及转速成正比,方向与电枢电压相反,表示为,是反电势系数。(2)电磁转矩方程 (2.7)式中,是电动机转矩系数,是电枢电流产生的电磁转矩。(3)电动机轴上的转矩平衡方程 (2.8)式中,是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。注意,式(28)中已忽略与转速成正比的阻尼转矩。联立式(2.6)式(2.8),消去中间变量、及,便可得到描述输出量和输入量、扰动量之间的微分方程为 (2.9)式中,分别称作电动机的电磁时间常数和机电时间常数;,分别称作电压传递系数和转矩传递系数,分别表
11、征了电压变动或扰动转矩变动时对电动机角速度的影响程度。在工程应用中,由于电枢电路电感较小,通常忽略不计,此时式(2.9)可简化为 (2.10)如果取电动机的转角作为输出,电枢电压仍作为输入,因为,于是式(2.10)可改写成 (2.11)比较式(2.10)和(2.11)可见,不同角度研究问题的数学模型是不同的。图22 电枢控制直流电动机原理图例23 试列写图23所示的转速自动控制系统以转速为输出量,给定电压为输入量的微分方程。解:系统中的电动机是控制对象。被控量亦即系统的输出量为转速,给定输入作用为,扰动作用为负载转矩。系统由输入电位器、运算放大器(对信号求差并放大作用)、运算放大器(包含校正网
12、络,起倒相和校正作用)、功率放大器、被控对象和测速发电机等部分组成。图23 转速自动控制系统原理图系统的方块图如图24所示。图24 转速自动控制系统方块图现分别列写各部分的微分方程(1)运算放大器:给定电压与速度反馈电压在此相减,产生偏差电压并进行放大,即 (2.12)式中,是运算放大器的放大系数。 (2)运算放大器:根据运算关系,与间的微分方程为 (2.13)式中,是运算放大器的比例系数,为时间常数。(3)功率放大器: (2.14)式中,为放大系数。(4)直流电动机:由例22可知电枢控制直流电动机的微分方程为 (2.15)(5)测速发电机连同分压器: (2.16)式中,为测速发电机产生的并经
13、分压后的反馈电压,它与电动机的角速度成正比,比例系数为。合并方程(2.12)(2.16),消去中间变量、和,经整理后可得令;,则有合并同类项,整理可得用去除全式,得到转速自动控制系统的微分方程为 (2.17)通过式(2.17)可看出,电动机转速控制中,电动机的转速既与给定作用有关,又和扰动作用有关。(下面灰度内容暂时没用处,后期参考杨老师所编内容进行相应调整)若给定作用为常数,负载扰动为变化量时,用增量化表示时,式(2.17)可写成表明了负载转矩变化是如何引起转速变动的。该系统是恒值控制系统。若负载扰动为常数,给定作用为变化量,式(2.17)则变成表明给定电压变化是如何引起转速变动的,该系统为
14、速度随动系统。若负载扰动和给定作用均为变化量,系统的增量化方程即如式(2.17)描述,对于线性系统,可以应用叠加原理分别讨论两种输入作用引起的转速变化,然后进行叠加。2.2.2微分方程的增量化表示分析以电枢控制直流电动机的微分方程为例,从微分方程式(2.9)和(2.10)可以看出,若电动机处于平衡状态,则各变量的各阶导数均等于0,于是微分方程就变成如下的代数方程。 (2.18)它表示平衡状态下输入量、输出量之间的关系,称为静态数学模型。式(2.18)表明:直流电动机平衡状态下的角速度与电枢电压及负载转矩有关。增加则上升,相反地,增大则下降。当常数时,和的关系可用特性曲线表示出来,称为控制特性;
15、当常数时,和的关系亦可用特性曲线表示,通常称作电动机的机械特性。若电动机在某个平衡状态下运行,此时的变量、和分别用和表示。考虑到各变量均会有所变动,今用表示增量,于是电动机在平衡状态附近运行的变量可表示为 (2.19)将式(2.19)代入式(2.10),并考虑平衡状态各变量应具有式(2.18)的关系,经化简后可得 (2.20)这就是电动机微分方程在平衡状态附近的增量化表示式。比较式(2.10)和式(2.20)可知,两个式子在形式上是一样的,不同之处在于式(2.20)中的变量均用平衡状态附近的增量表示。 若电动机运行过程中,负载转矩常数,则,增量化方程就变成 (2.21)若电动机运行过程中常数,
16、则,增量化方程为 (2.22) 由于增量化表示式(2.14)与绝对值表示式(2.10)具有相同的形式,而使用增量化方程往往比较方便,求取增量化方程时只需用代替某个变量就可以了。通常为方便起见,可省略不写,这样,只要把式(2.10)中的变量全部理解成为相应的增量就可以了。2.2.3 线性系统的基本特征(关键看杨老师是否在第一章引入叠加定理,待加)用线性微分方程描述的系统,称为线性系统。线性系统的重要性质是可以应用叠加定理。叠加定理有两重含义,即具有可叠加性和均匀性(或齐次性)。(1)叠加性 当系统同时存在几个输入量作用时其输出量等于各输入量单独作用时所产生的输出量之和。(2)齐次性 当系统的输入
17、量增大或缩小若干倍时,系统输出量也按同一倍数增大或缩小。在线性系统中,根据叠加原理,如果有几个不同的外作用同时作用于系统,则可将它们分别处理,求出在各个外作用单独作用时系统的响应,然后将它们叠加。例如在直流电动机转速控制系统中,其微分方程如(2.17)式描述,即若负载扰动和给定作用同时作用给系统,采用增量化方程描述,分析步骤如下:(1)令给定作用为常数,负载扰动为变化量(恒值控制系统),用增量化表示时,式(2.17)可写成通过上式计算出在负载扰动作用下,电动机的转速变化为。(2)令负载扰动为常数,给定作用为变化量(速度随动系统),式(2.17)则变成通过上式计算出在给定作用作用下,电动机的转速
18、变化为。 (3)当若负载扰动和给定作用均为变化量,同时作用给系统,则应用叠加原理,此时电动机转速在两者作用下的变化为。2.2.3非线性微分方程的线性化严格地说,实际控制系统的元件都含有非线性特性,含有非线性特性的系统可以用非线性微分方程描述,但它的求解通常非常复杂。这时,除了可以用计算机进行数值计算外,有些非线性特性还可以在一定工作范围内用线性系统模型近似,称为非线性模型的线性化。常用的方法是将具有弱非线性的元件在一定的条件下视为线性元件。此外,在工程实际中,常常使用切线法或小偏差法,其本质是对于连续变化的非线性函数,在一个很小的范围内,将非线性特性用一段直线来代替。1.单变量非线性函数的线性
19、化设连续变化的非线性函数为,如图25所示。取某平衡状态为工作点。当时,有。设函数在点连续可微,则将它在该点附近进行泰勒级数展开为 (2.23)当增量很小时,略去其高次幂,则有 (2.24)令,则线性化方程可简记为略去增量符号,便得函数在工作点附近的线性化方程为 (2.25)式中,是比例系数,它是函数在点的切线斜率。图25 小偏差线性化示意图2双变量非线性函数的线性化对于有两个或两个以上变量的非线性系统,线性化方法与单变量完全相同,设非线性函数,同样可在某工作点附近用泰勒级数展开,以同样的方法可得略去增量符号,可得函数在工作点附近的线性化方程为 (2.26)式中:综上所述,在进行线性化的过程中,
20、要注意:(1)小偏差方法只适用于不太严重的非线性系统,其非线性函数是可以利用泰勒级数展开的。(2)线性化方程中的参数与工作点有关。(3)实际运行情况是在某个平衡点(静态工作点)附近,且变量只能在小范围内变化(4)对于严重的非线性,例如继电特性,因处处不满足泰勒级数展开的条件,故不能做线性化处理,必须用第八章的方法进行分析。2.3 控制系统的传递函数 控制系统的微分方程是用时域法描述动态系统的数学模型,在给定初始条件下的情况下,可以通过求解微分方程直接得到系统的输出响应,但如果方程阶次较高,则计算很繁琐,从而给系统的分析设计带来不便。经典控制论的主要研究方法,都不是直接利用求解微分方程的方法,而
21、是采用与微分方程有关的另一种数学模型传递函数。传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型。在以后的分析中可以看到,利用传递函数不必求解微分方程就可研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态性能。利用传递函数还可研究系统参数变化或结构变化对动态过程的影响,因而极大简化了系统分析的过程。另外,还可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求,使综合设计问题易于实现。鉴于传递函数的重要性,本节将对其进行深入的研究2.3.1传递函数的概念所谓传递函数,即线性定常系统在零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。图26的方块图表示一个具有传递函数的线性系统,图中表明,系统输入量与输出量的
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