自强学院尹剑翀07120004指导老师顾传青.ppt
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1、自强学院 尹剑翀 07120004 指导老师 顾传青,线性方程组的求解过程分析,让我们引入一个线性方程组的求解过程来开始我们的论述:,线性方程组的求解实例,对方程组,求解:,。,对增广矩阵进行初等行变换,,。,于是,原方程可以化为,取,得特解,;,分别设,,,,可得导出组的一个基础解系,,,,方程组的通解是,,,为任意常数。,那么,为什么我们可以通过初等行变换来分析线性方程组,又为什么能够通过“特解基础解系”的向量方式得到方程组的通解呢?,线性方程组的解法,就是通过不断的消元,最终化为克莱姆法则可以解决的方程组,并加以求解的过程。,对线性方程组,,去掉多余方程(不妨设,后面 m-r个多余)而得
2、保留,,再找出r个未知数,使它们系数行列式不为,,于是把,零,在这里假设x1,x2,xr 系数行列式,。,方程组,移到等号右端,得到,线性方程组的具体解法,看成已知数,用克莱姆法则求解,。随后将,。,我们在解方程时使用的消元法,实际上就是对方程组进行变换,而所做的变换可以总结为以下的三种变换。 I).用一非零的数乘某一方程; II).把一个方程的倍数加到另一个方程; III).互换两个方程的位置。 I)、II)、III) 三个变换称为线性方程组的初等变换。 很容易看出,进行了初等变换之后原方程组与现方程组是同解的。 应用到矩阵中行列之间的加减,便称为矩阵的初等变换。,线性方程组解的分析初等变换
3、,在去除了未知量后,线性方程组可以表示为形如,这样的矩阵形式;,例如,可以写成,。,线性方程组的矩阵表达,矩阵的行向量描述:,该矩阵可以看作是由n个行向量,(i1,2,m) 组成的。 这些行向量可以被视为是对各个方程的简略描述形式 : 设其中某行行标为i,则第i个方程:,可以用,来简单表示。,矩阵的列向量描述:,当然,我们也可以认为线性方程组的增广矩阵是由列向量,(j1,2,n)和,组成的。于是,我们可以得到以下式子成立:,x1,x2 ,xj ,xn=,。,。,通过这样的式子我们可以发现,线性方程组可以用向量的形式来进行描述,,、,、,、 ,为n个不同的向量 , x1、x2、xj xn,则可以
4、被认为是各个向量(,、,、 ,), 一个这些向量的,的长度单位。通过对各个矢量的叠加,我们可以得到,线性组合。,、,我们甚至可以把原线性方程组改写为,这样的形式。,可以认为是以,、,、 ,为基的坐标平面上关于矢量,的坐标表示。,、,我们在把线性方程组化为系数矩阵和增广矩阵的时候,初等行变换就相当于方程组中各个方程组互相进行加减消元的过程,这个过程我们可以通过把矩阵视为行向量的集合。 而当我们将矩阵视为列向量的集合的时候,则是对方程组的矢量化描述。,线性相关性,设向量组 , 1、 2 、 n ,如果对向量, 1、 n有 成立, 则被称为是, 1、 n的线性组合。 特别的,当k1,k2ks不全为零
5、,则称, 1、 n线性相关。 例如,向量组 、 、 线性相关,因为 。 当k1,k2ks全为零时,我们定义, 1、 n线性无关。 事实上,一个向量组内的向量是线性相关抑或是线性无关取决于向量组中是否有向量能被其他的向量线性表示。当向量组线性相关时,必定有至少一个向量是“多余”的(即可以由其他的向量以的形式表现出来)。,方程组,如 ,它可以用矩阵描述为 , 进而我们可以分解为三个行向量:设向量组, ,其中 、 和 。可以发现,线性相关,因为 。 从线性方程组的角度出发,我们可以发现,通过加减消元法,把方程 左右同乘以-2加到方程 遂得到 ,与第三个方程形式完全相同,可知第三个方程“多余”, 因此
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