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1、第11讲 自由曲线与曲面2,华中科技大学CAD中心 吴义忠 ,主要内容,11.1 解析曲面 11.2 Bezier曲面 11.3 B样条曲面 11.4 NURBS曲面 11.5 曲面的其它表达 11.6 曲面求交算法,11.1 解析曲面(代数曲面),代数曲面在造型系统中常见,但远远不能满足复杂曲面造型的要求 适合构造简单曲面,不能构造自由曲面 不同类型曲面拼接连续性难以保证 不同曲面求交公式不一,程序实现量大 工程设计交互性差 因此,CAD系统中除简单代数曲面外,必须具有强大的自由曲面造型能力 Bezier、B样条、BURBS曲面在商用CAD系统中常见。,给定空间n+1个点的位置矢量Pi(i=
2、0,1,2,n),则Bezier曲线定义为:,11.2 Bezier曲面的定义-张量积曲面,展开上式得:,双三次Bezier曲面,Bezier曲面参数空间和三维欧式空间的映射关系,Bezier曲面的特性,1),2),事实上,沿Bezier曲面任何等参数的截线均为一Bezier曲线。显然,固定参数v,对参变量u而言是一簇Bezier曲线;固定参数u,对参变量v而言也是一簇Bezier曲线。,3),4) 其它特性与Bezier曲线类似:,Bezier曲面的计算与绘制,Bezier曲面的拼接,,即两曲面的首末控制点相同。,A)G0连续,B)G1连续,最简单直接的方法为:,,即有公共切平面,为了实现多
3、张曲面拼接,需要更多的自由度和更为宽松的条件才可能实现。为实现这一目标往往需要更高阶的曲面,对低阶曲面可通过升阶方法提高阶次。 特征多边形顶点数决定了它的阶次数,当n较大时,不仅计算量增大,稳定性降低,且控制顶点对曲线的形状控制减弱; 不具有局部性,即修改一控制点对曲线产生全局性影响。 1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数,从而改进上述缺点。,Bezier曲面的不足,类似Bezier曲面,将均匀三次B样条曲线推广可得到均匀双三次B样条曲面的定义如下:,11.3 B样条曲面,B样条曲面的性质,由此可见,B样条方法能够很方便绘制复杂曲面,并比Bezier方法更灵活,因此应
4、用更广泛。,B样条曲面的计算与绘制 先沿等参数方向离散成网格点,然后依次连线绘制,B样条曲面的反算,借鉴B样条曲线的反算思想,先对给定型值点进行u向反算,反算得到一组控制点,通过升阶使控制点数相等,再以此控制点为型值点进行v向反算,具体步骤如下:,a)以U向截面数据点(型值点)及端点u向切矢,应用B样条曲线反算,构造出各截面曲线,求出它们的B样条控制顶点:,b)仍以U向视首末截面数据点处v向切矢为“位置矢量”表示的“数据点”,又视四角角点扭矢为“端点v向切矢”,应用曲线反算,求出定义首末u参数边界(即首末截面曲线)的跨界切矢曲线的控制顶点。,c)然后固定指标i,以第一步求出的n1条截面曲线的控
5、制顶点阵列中的第i排即:,为“数据点”,以上一,步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”,在节点矢量V上应用曲线反算,分别求出m3条插值曲线即控制曲线的B样条控制顶点,三次B样条插值曲面的控制顶点。,,即为所求双,11.4 NURBS曲面,追求内部表达模型的统一是CAGD领域学者们的重要目标之一,NURBS不是终点,学者们仍在努力。 (目前样条表达能力更强,但控制参数更多),11.5 其他表达方式,二次曲面(quadric)是最基本的曲面表达:如球面、锥面、环面、抛物面、双曲面等;其特点为表达简单,计算量小,尤其是求交运算容易获得其解析解,因此商用系统中广泛采用。,Quadric sur
6、face,superquadric,superquadric toroids,superquadric ellipsoids,superquadric曲面在商用CAD系统应用相对较少,但在动画软件中常用,隐式曲面,Implicit Surface,隐式曲面是元球(metaball)的更一般形式,它在表现人体的肌肉、水滴、云、树等物体的造型和动画方面有很大的优势,隐式曲面造型目前尚在发展和完善阶段。,偏微分方程(PDE)曲面,PDE方法使用一组椭圆偏微分方程构造曲面,曲面的形状由所选择的偏微分方程和给定的边界条件确定。,等距曲面(Offset),F(u,v) S(u,v)+ d N S(u,v)
7、,细分曲面,前面我们介绍的各种解析曲面、Bezier曲面、B样条曲面及NURBS曲面,其生成的曲面比较规则。 而实际工程中会有各种不规则的曲面,很多形体的表面也都是由不规则的曲面封闭包围而成。 这些不规则的曲面往往是由规则曲面裁剪而成,裁剪操作的关键在于曲面的求交,如图:,11.6 曲面求交算法介绍,当前的CAD系统,大多采用精确的边界表示模型。在这种表示法中,零件形体的边界元素和某类几何元素相对应,它们可以是直线、圆(圆弧)、二次曲线、Bezier曲线、B样条、NURBS曲线等,也可以是平面、球面、二次曲面、Bezier曲面、B样条、NURBS曲面等,求交情况十分复杂。,在一个典型的CAD系
8、统中,用到的几何元素通常有25种,为了建立一个通用的求交函数库,所要完成的求交函数多达 25325种!一种好的思想是将几何元素进行归类,利用同一元素之间的共性来研究求交算法。,NURBS具有强大的表示能力,能使造型系统的几何元素表示统一起来,那么,几何造型系统的求交是否可以简化为NURBS求交呢?非也 !,通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精与跟踪的方法,求交精度不高,计算量大,速度慢,对共点、共线、共面难以处理,从而影响布尔运算的效率和稳定性。,基本的求交算法: 由于计算机内浮点数有误差,求交计算必须引进容差。假定容差为e,则点被看成是半径为e的球,线被看成是半径为e的圆管,面被看成
9、是厚度为2e的薄板。 点与其它几何元素的求交比较简单,计算两个点是否相交,实际上是判断两个点是否重合,判断点和线(或面)是否相交,实际上是判断点是否在线(或面)上。 线与线的求交:有二次曲线与二次曲线、二次曲线与自由曲线及自由曲线与自由曲线求交三种。 线与面的求交:有二次曲线与二次曲面、二次曲线与自由曲面、自由曲线与二次曲面及自由曲线与自由曲面求交四种。,在几何元素之间的求交算法中,曲面与曲面之间的求交是最为复杂的一种,比其它元素的求交要复杂得多,曲面与曲面求交的基本方法主要有代数方法、几何方法、离散方法和跟踪方法四种。,1代数方法 代数方法是利用代数运算,特别是求解代数方程的方法求出曲面的交
10、线。对于一些简单的曲面求交,如平面和平面,平面和二次曲面,可以直接通过曲面方程求解计算交线,对于某些复杂的情况,则需要进行分析和化简的运算后求解。,2几何方法 几何方法求交是通过对参与求交的曲面的形状大小、相互位置以及方向等进行计算和判断,识别出交线的形状和类型,从而可精确求出交线。 几何求交适应性不是很广,一般仅用于平面以及二次曲面等简单曲面的求交。(机械制图画法几何中相贯线作图是几何求交法),3离散方法 离散方法求交是利用分割的方法,将曲面不断离散成较小的三角形平面片来逼近,然后用这些简单面片求交得一系列交线段,连接这些交线段即得到精确交线的近似结果。 离散求交一般过程:1)用包围盒作分离
11、性检查排除无交区域;2)根据平坦性检查判断是否终止离散过程;3)连接求出的交线段作为求交结果。,然而离散法求出的交线逼近精度不高。如果要求的精度较高,需要增加离散层数。这将大大增加数据储存和计算量。 离散求交精度不高,难以构成完整的交线。因此多用于初始点的确定。,S 1的参数域,S 2 的参数域,交线在两曲面参数域的映射,跟踪方法求交是通过先求出初始交点,然后从已知的初始交点出发,相继跟踪计算出下一交点,从而求出整条交线的方法。 跟踪法的本质是构造交线满足的微分方程组,先求出满足方程组的某个某个初值解,通过数值求解微分方程组的方法来计算整个交线。,4跟踪方法,跟踪方法在计算相继交点的时候,利用了曲面的局部微分性质,一般采用数值迭代的方法求解,使得计算效率较高。 跟踪法求交中要考虑的主要问题包括:1)如何求出初始交点并保证每一交线分支都有初始交点被求出;2)如何计算奇异情况下的跟踪方向以及合理选取跟踪的前进步长;3)如何处理相切的情况。,思考题: 1.掌握Beizer曲面的性质、计算与绘制方法 2.掌握B样条曲面的性质、计算与绘制方法 3.了解NURBS曲面及其特点 4.了解曲面求交算法,
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