2017-2018学年高中数学 第一章 算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例课件 新人教B版必修3.ppt
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1、1.3 中国古代数学中的算法案例,1.理解中国古代三个问题(求两个正整数的最大公约数、割圆术、求多项式函数值)的算法. 2.注意体会“更相减损之术”与“辗转相除法”的差异,以及秦九韶算法在求多项式函数值上的优越性.,1.求两个正整数最大公约数的算法 (1)“等值算法”在我国古代也称为更相减损之术,它是用来求两个正整数的最大公约数的方法,其基本过程是:对于给定的两个数,用较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减去小数,继续这个操作,直到所得的两数相等为止,则所得数就是所求的最大公约数. (2)辗转相除法(即欧几里得算法):是用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的
2、一对数,继续做上面的除法,直到大数被小数除尽,这个较小的数就是所求的最大公约数.,归纳总结1.用“等值算法”求两数的最大公约数时,是当大数减去小数的差恰好等于小数时停止减法,这时的小数就是要求的两数的最大公约数. 2.求三个以上(含三个数)的数的最大公约数时,可依次通过求两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数来求得.,【做一做1】 用辗转相除法求168与72的最大公约数,要做n次除法运算,那么n为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:A,2.割圆术 割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注九章算术中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率的一种方法.他的思想后来又得到祖冲之的推进和
3、发展,计算出的圆周率的近似值在世界上很长时间里处于领先地位.,【做一做2】 用圆内接正多边形逼近圆,得到的圆周率的值总是( ) A.大于等于的实际值 B.大于的实际值 C.等于的实际值 D.小于的实际值 解析:用割圆术求出的是的不足近似值. 答案:D,知识拓展1.秦九韶算法很多文献称之为霍纳算法. 2.用秦九韶算法计算多项式的值,关键是正确地将多项式改写,然后由内向外依次计算求得.,1.辗转相除法与更相减损之术的异同 剖析:相同点:都是求最大公约数的方法.更相减损之术的理论依据为:由m-n=r,得m=n+r,可以看出,m,n与n,r有相同的公约数;辗转相除法的理论依据是:由m=nq+r可以看出
4、,m,n和n,r有相同的公约数,即二者的“算理”相似. 不同点:更相减损之术进行的是减法运算,辗转相除法进行的是除法运算,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少.结果上,辗转相除法体现结果是以相除余数为0得到,而更相减损之术则以减数与差相等而得到.,3.教材中的“探索与研究” 古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是辗转相除法(即欧几里得算法):用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数,继续做上面的除法,直到大数被小数除尽,这个较小的数就是最大公约数.以求288和123的最大公约数为例,操作如下: (288,123)(42,123)(42,39)(3,39). 想一想这种算法的道理
5、.试着编写程序在计算机上实现. 剖析:辗转相除法求正整数a,b(ab)的最大公约数的步骤是:计算出ab的余数r,若r=0,则b为a,b的最大公约数;若r0,则把前面的除数b作为新的被除数,把余数r作为新的除数,继续运算,直到余数为零,此时的除数即为a,b的最大公约数. 从其算法思想我们可以看出,辗转相除法的基本步骤是用较大的数(用a表示)除以较小的数(用b表示),得到除式:a=nb+r(0rb).,由于这是一个反复执行的步骤,且执行的次数由余数r是否等于0决定,所以我们可以把它看做一个循环体,用循环结构就可以来实现其算法. 程序略.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思用更相减
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