2019(同济大学)高等数学课件D6162几何应用.ppt
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1、第六章,利用元素法解决:,定积分在几何上的应用,定积分在物理上的应用,定积分的应用,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分的元素法,一、什么问题可以用定积分解决 ?,二 、如何应用定积分解决问题 ?,第六章,表示为,一、什么问题可以用定积分解决 ?,1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的,2) U 对区间 a , b 具有可加性 ,即可通过,“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”,定积分定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一个整体量 ;,二 、如何应用定积分解决问题 ?,第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的,微分表达式,第二步 利
2、用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的,积分表达式,这种分析方法成为元素法 (或微元分析法),元素的几何形状常取为:,条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等,近似值,精确值,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,四、 旋转体的侧面积 (补充),三、已知平行截面面积函数的 立体体积,第二节,一、 平面图形的面积,二、 平面曲线的弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分在几何学上的应用,第六章,一、平面图形的面积,1. 直角坐标情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为,例1. 计算两条抛物线,在第一
3、象限所围,所围图形的面积 .,解: 由,得交点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算抛物线,与直线,的面积 .,解: 由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值,则曲边梯形面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解:,机
4、动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应 从 0 变,例5. 计算阿基米德螺线,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到 2 所围图形面积 .,例6. 计算心形线,所围图形的,面积 .,解:,(利用对称性),心形线 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 计算心形线,与圆,所围图形的面积 .,解: 利用对称性 ,所求面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 求双纽线,所围图形面积 .,解: 利用对称性 ,则所求
5、面积为,思考: 用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,二、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微
6、分) :,(自己验证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,成悬链线 .,求这一段弧长 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下垂,悬链线方程为,例10. 求连续曲线段,解:,的弧长.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 计算摆线,一拱,的弧长 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12. 求阿基米德螺线,相应于 02,一段的弧长 .,解:,(P364 公式39),小结 目录 上页 下页 返回 结束,三、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求
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