2019吉林大学大一高数第四章习题课.ppt
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1、,二、 导数应用,习题课,一、 微分中值定理及其应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,中值定理及导数的应用,第四章,一、 微分中值定理及其应用,1. 微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 微分中值定理的主要应用,(1) 研究函数或导数的性态,(2) 证明恒等式或不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 有关中值问题的解题方法,利用逆向思维 , 设辅助函数 .,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可
2、用原函数法找辅助函数 .,多用罗尔定理,可考虑用,柯西中值定理 .,必须多次应用,中值定理 .,(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.,有时也可考虑对导数用中值定理 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 设函数,在,内可导, 且,证明,在,内有界.,证: 取点,再取异于,的点,对,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,(定数),可见对任意,即得所证 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,在,内可导, 且,证明至少存在一点,使,上连续, 在,证: 问题转化为证,设辅助函数,显然,在 0 , 1 上满足罗
3、尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,且,试证存在,证: 欲证,因 f ( x ) 在 a , b 上满足拉氏中值定理条件,故有,将代入 , 化简得,故有,即要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 设实数,满足下述等式,证明方程,在 ( 0 , 1) 内至少有一,个实根 .,证: 令,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数 f (x) 在0, 3 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且,分析: 所给条件可写为,(03考研),试证必存在,想到找一点 c
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- 2019 吉林大学 大一 第四 习题
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