2019大学高等数学经典课件8-3.ppt
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1、第三节 全 微 分,一. 全微分的概念,由一元函数可微的定义知,若函数y=f(x)在点x处可微,则对 固定的x,自变量的增量x所对应的函数增量y=f(x+ x)- f(x)可表成: y=A x+o(x) 即因变量增量y看作x的 函数,它能用自变量增量x的线性函数A x(其中A=f (x) 来近似代替,误差为x的高阶无穷小.,对于二元函数,我们用一个例子来说明 例1 用钢板制造一个园柱形无盖容器,该容器底面的内半径 为2米,内侧面高为5米,侧壁厚为1厘米,底厚为1.5厘米,试计算 所用钢的重量.,这表示二元函数的微分也可以象一元函数的微分一样.下面 我们把二元函数的微分用数学语言叙述:,一般地,
2、设函数z=f(x,y)在区域D内有定义,点p(x,y)D,当自变 量x取得增量x,自变量y取得增量y时,得到p(x+x,y+y), 假设pD,函数在点p与p处的函数值之差f(x+x,y+y)-f(x,y) 称为函数在点(x,y)对应于自变量增量x,y的全增量,记作z, 即,定义 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量z可表示为,其中A,B不依赖于x,y而仅与x,y有关,为点p到p的距离,定义 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量z可表示为,而Ax+B y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz,即,(1)下面我们看可微与连续的关系.,dz=Ax+By,知道,如
3、果函数f(x,y)在点(x,y),则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分.,可微分,则当0时(当然同时有x0,y0,得到,即函数z=f(x,y)在点P(x,y)处连续.因此如果函数在点P(x,y)处不 连续(当0时, z不趋向0).则函数在该点一定不可微.这就 是说,连续是可微的必要条件.,)就有z0,于是由,(2). 函数可微分与偏导数存在的关系,若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,那么(3)式对于任意x和 y成立令y=0,这时=|x|,(3)式变为,把上式两边除以x,再令x0取极限,得,由偏导数定义,知函数z=f(x,y)在点(x,y)处对x的偏导数存,如果函数z=f(x,y
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