计算结构动力学2.doc
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1、王家林 编著第2章 分析动力学基础2.1 基本概念2.1.1 约束对质点系各质点的位移和速度提供的限制,约束在数学上通过约束方程来表达。对于n个质点组成的系统,约束方程的一般形式为:或简写为:式中,、分别为质点的位置矢量和速度矢量,为时间,为约束方程的个数。注:弹性支座不对位置和速度提供直接限制,不作为约束。约束方程的分类:(1) 几何约束和运动约束几何约束:约束方程中不显含速度项,如:运动约束:约束方程中显含速度项,如: 下图中,如果圆轮与地面之间无滑动,则其约束方程为:(2) 定常约束和非定常约束定常约束:约束方程中不显含时间,如:非定常约束:约束方程中显含时间,如: (3) 完整约束与非
2、完整约束完整约束:几何约束以及可积分的运动约束非完整约束:不可积分的运动约束方程可积分为,因此是完整约束。(4) 单面约束与双面约束单面约束:约束方程为不等式,如:双面约束:约束方程为等式,如:下图中,如果考虑到绳子可以缩短,则其约束方程为:,表现为不等式形式,就是一个单面约束。一般分析力学的研究对象为:完整的双面约束,方程为:。2.1.2 广义坐标与自由度广义坐标:描述系统位置状态的独立参数,称为系统的广义坐标。广义坐标的个数:(1) 空间质点系:(2) 平面质点系:对于如图双连刚杆的平面两质点系统,约束方程为:广义坐标个数为:,具体地可选择为:;等。如果系统的位移状态可以通过一组基函数来线
3、性组合,如:,由于各系数相互独立,因此系数也是一种广义坐标。例:简支梁的挠度曲线可表示为,为与基函数对应的广义坐标。根据广义坐标的概念,设系统的广义坐标个数为,当选定系统的广义坐标后,系统的位置状态可以由全部广义坐标来表示,也即有:,自由度:某瞬时,系统独立运动的个数。自由度强调的是独立运动也即独立速度,广义坐标强调的是独立坐标(位移)。对于完整系统,自由度与广义坐标的个数相同;对于非完整系统,由于存在非完整约束,对独立速度的限制多于对独立坐标的限制,因此自由度数比广义坐标个数少。2.1.3 力的功对于力,设在微小时间间隔内力作用点的位移为,则该力做的功称为元功:式中,为与的夹角。经过一段路径
4、,做的总功为:对于力偶,设在微小时间间隔内物体在力偶作用下的转角为,则元功为:转过一定角度,做的总功为:力、力偶在单位时间内做的功称为功率:2.1.4 有势力与势能有势力:在作用点变化过程中,力做的功如果只与起止位置有关,而与中间路径无关,则这个力称为有势力,有势力所在的空间称为该有势力的势力场,如重力与重力场。势能:在势力场中,物体从位置运动到任选的位置,有势力所作的功称为物体在位置相对于位置的势能,以表示:位置的势能等于零,称为零势能位置(点、状态)。势能是位置的函数,记为。有势力分量与势能具有如下关系:,证明如下:当具有微小变化变为时,势能的增量为:因此有:,当弹性体变形后,恢复变形到原
5、始状态的过程中,弹性力会做功,做的功等于变形状态改变释放的变形能,只与前后变形状态有关,因此具有势能的性质。弹性体因变形而具有变性能为:2.1.5 虚位移虚位移:某瞬时,约束所容许的任意微小位移。要点1:“某瞬时”意味着虚位移不考虑时间的变化,也即是虚位移无时间过程。要点2:“约束所容许”表示不破坏约束,满足约束条件。要点3:“微小位移”指位移小到只考虑一阶变化。要点4:“任意”指无需考虑真实的力、速度和时间等真实运动因素,可以人为地设定。要点5:对于一个系统,由于存在内部的约束联系,各位置点的虚位移不具有完全的任意性。要点6:根据定义,独立虚位移的个数等于系统的自由度数。概念辨析:可能位移:
6、考虑时间,但不考虑运动的原因,约束所容许的位移称为可能位移。真实位移:同时考虑时间和运动的原因,约束所容许的位移称为真实位移,真实位移是可能位移中的一种。可能位移和真实位移不具有“微小”性,因此可能位移不一定是虚位移。设系统的广义坐标为,系统的位置状态可以由全部广义坐标表示为:,根据微积分的概念,任一质点的位移增量有如下关系:略去上式中与时间有关的增量,将变为虚位移,则可得到质点的虚位移:上式建立了任一点虚位移与广义坐标虚位移的关系。由于各广义坐标是独立的,因此各广义坐标可以独立发生虚位移。当只有一个广义坐标有虚位移时,质点的虚位移为:另外,根据约束方程也可建立虚位移之间的关系,方法如下:对于
7、约束方程,有:例如:有:2.1.5 虚功与广义力虚功:力在虚位移上所做的功称为虚功。力系中各力作用点的虚位移为:则总虚功为:记:为与对应的广义力,则有:广义力的计算方法:(1)记:,得:(2)单独使一个广义坐标发生虚位移,此时的虚功为:因此有:(3)如果所有力均为有势力,根据:, 得:例题2-1:如图双摆,以、为广义坐标,对于重力、的广义力。解:方法1:因此有:方法2:首先只让产生一个虚位移,两质点的虚位移为:虚功为:因此广义力为:再只让产生一个虚位移,两质点的虚位移为:虚功为:因此广义力为:方法3:以O处为重力势能零点,系统的势能为:广义力为:2.2 虚功(虚位移)原理2.2.1 理想约束虚
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