正交群幺模群和Euler转动.ppt
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1、3.3 正交群、幺模群和Euler转动,一、正交群 一个转动可用三个实数表征:转轴的极角和方位角,以及转角。可方便地用33正交矩阵R描述:不同相继转动的结果可用相应矩阵乘积来表示。 由于RRT=RTR=1 相当于6个独立方程,这33正交矩阵的9个元素只有3个是独立的。 正交矩阵乘法运算的集合构成一个群,该群叫SO(3)群。这里S表示特殊,即只考虑了转动,而无反演;O表示正交,即RRT=1;而3表示空间维数。,SO(3)群的基本性质,所有正交矩阵(R)乘法运算的集合满足四要素: 封闭性:两正交矩阵的乘积为另一正交矩阵 2. 结合律: 这是矩阵代数的结果 3. 有单位矩阵(对应于无转动):R1=1
2、R=R 4. 有逆存在(对应于相反角度的转动):,二、幺模群,对二分量旋量 ,可用一个22矩阵的作用来表征一个任意转动: U = 该矩阵显然是幺正的(UU+=1),不改变 的模。 幺模矩阵:行列式为1的幺正矩阵。幺模矩阵的一般形式为: 且 U(a,b)的行列式显然为1 ,且是幺正的:,对比U与U(a,b),知U为幺模矩阵,对应于: 幺模矩阵的集合所构成的群称为SU(2)群。 S:特殊,即模为1;U:幺正。 1)封闭性: 2)逆: 2维幺正矩阵构成U(2)群(有4个独立参数):,SU(2)与SO(3)的关系,虽然SU(2)与SO(3)均表征转动,但非同构,即SU(2)与SO(3)不是一一对应的。
3、其实,SU(2)与SO(3)的对应是二对一的,即U(a,b)及U(-a,-b)对应于同一个SO(3)矩阵。例如在SU(2)中转2对应于-1,转4对应于1,但SO(3)中转2和4都对应于1,把U(a,b)和U(-a,-b)分开看,则可认为SO(3) 与SU(2)局部同构。,三、Euler转动,三维空间的最一般转动也可用三个相继Euler转动表征: 1)将刚体绕z轴转角.空间坐标轴与刚体坐标轴在转动前是重合的,转动后刚体y轴变为y轴 2)使刚体绕y轴转角,刚体z轴变为z轴 3)使刚体绕z轴转角,y轴变为y轴。 用33正交矩阵描述这三个Euler转动,结果为:,y与y差角,绕y转角可等价为:先用Rz
4、(-)将y转回到y,然后绕y转角,再将y转回到y轴,即 上式左右两边对y轴效果自然相同,对zz(z)的操作也相同,即上式对刚体的两非平行轴等价。 类似可证: 于是,描述3个Euler转动的正交矩阵为: 即:,化关于刚体轴y、z的操作为关于空间固定轴的操作,对应于Euler转动的转动算符,与正交矩阵的乘积对应,存在相应转动算符的乘积: 对自旋1/2体系为 该矩阵具有幺模矩阵的普遍形式。 上式的exp(-i2)矩阵是唯一含非对角元的,且非对角元是纯实数。,是转动算符D(,)的j=1/2的不可约表示,其矩阵元记为,3.4 密度算符与混合系综,一、极化与非极化粒子束 前述量子力学理论形式可描述由完全相
5、同的粒子组成的系综的统计预言,系综粒子均由态矢|表征。 对由不同态矢表征的物理体系所组成的系综,前面讨论的理论方法不适用。如SG实验中由热炉直接出来的Ag原子,其自旋朝向是随机的。 按前描述任意态的方法, 所描述的态有特定自旋方向,其极角和方位角由 决定,故不能描述自旋无特定方向的体系系综。,二、分数分布,自旋朝向无规的系综可看作由50%|+和50%|-的粒子组成,可用布居数(几率权重)w+=0.5和w-=0.5描述 注意:1)系综的分解常常是不唯一的,如上述体系也可看作由50%|Sx+和50%|Sx-组成。 2)几率权重( w+,w-)是实数,没有关于不同态的相对相位的信息,用于描述不同态的
6、非相干混合态。 3)不能混淆w+ (w-)和|c+|2 (|c-|2), |c+|2 (|c-|2)包含了重要的相位信息,用于描述态的相干线性叠加,如 ,该相干叠加的结果是Sx+态。 w+、w-所对应的概念与经典几率理论的概念相仿。,三、非极化、部分极化和完全极化,SG实验中由炉子出来的Ag原子束是完全随机系综的例子,原子束被称为是非极化的,自旋无特定方向。 经过SG过滤器后的原子束是纯系综、原子束是极化的,自旋有特定朝向。 完全随机系统和纯系统是混合系统的两极端例子。如一混合系统中有70%的态由|描述,而30%由|描述,则称为部分极化的。这里|和|不一定要正交。例如, |是|Sx+,而|是|
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