20192012届高三数学二轮复习01讲分类讨论思想.ppt
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1、专题一 数学思想方法 第1讲 分类讨论思想 1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想”,它是把所 要研究的数学对象划分为若干不同的情形,然后 再分别进行研究和求解的一种数学思想.分类讨论 思想在高考中占有十分重要的地位,相关的习题 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点,难 度有易,有中,也有难.题型可涉及任何一种题 型,知识领域方面,可以“无孔不入”地渗透到 每个数学知识领域.,2.分类讨论的原则 (1)分类标准统一,对象确定,层次分明. (2)所分各类没有重复部分,也没有遗漏部分. (3)分层讨论,不能越级讨论,有时要对分类结 果作以整合概述. 3.分类讨论的步骤 (1)确定讨论对象的主体; (
2、2)选取恰当科学的分类标准; (3)逐类讨论,获得阶段性成果; (4)归纳整合,得出结论.,【例1】已知数列an的前n项和为Sn=32n-n2,求其 通项公式an. 分析 依Sn的意义知:an=Sn-Sn-1,化简即可,但 要注意单独求a1=S1. 解 当n=1时,a1=S1=31. 当n2,nN*时,an=Sn-Sn-1=32n-n2-32(n- 1)+(n-1)2=33-2n. 考察a1=33-21=31,a1也适合an=33-2n. 综上,an=33-2n (nN*).,探究拓展 当一般性的结论在个别个体上无法使 用,或个体属性特别时,往往要单独解决,这是 产生分类讨论的基础.就本例而言
3、,an=Sn-Sn-1, 在n=1时,没有意义(a1无前项),只有单独求 a1=S1,而在求得a1与an (n2,nN*)之后,还应 考察a1是否适合an(n2,nN*)时的规律,若 适合则合并写出an,否则,分段表述an. 变式训练1 (2009徐州、淮安调研)已知集合 A=3,m2,B=-1,3,2m-1,若AB,则实数 m的值为 . 解析 ABm2Bm2=-1或m2=2m-1m=1.,1,【例2】若不等式mx2+mx+20对一切实数x恒成立, 试确定实数m的取值范围. 解 (1)当m0时,mx2+mx+20对于一切实数x (2)当m=0时,原不等式为20,显然对一切实数x 恒成立. 综合
4、(1)、(2)可得,当0m8时,对一切实 数x不等式恒成立.,恒成立的充要条件是,探究拓展 某些学生一见到有“二次”出现,往 往认识为“二次函数”或“二次方程”,这是由 定式思维引起的,备考者务必树立强烈的“确认 身份”意识,否则,分析问题有失偏颇.如本例 中,未表明不等式的次数,且高次项系数含可变 参数,我们称之为“准二次不等式”,解题时要 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 变式训练2 已知mR,求函数f(x)=(4-3m)x2- 2x+m在区间0,1上的最大值. 分析 当4-3m=0时f(x)是一次函数,4-3m0时 f(x)是二次函数,由于二次函数开口向上和向下求 最大值的
5、方法不同,所以对m可先分成两种情况去 讨论.,解 (1)当4-3m=0,即 它在0,1上是减函数,所以 (2)当4-3m0,即 y是二次函数. 若4-3m0,即 二次函数y的图象开口向 上,对称轴 它在0,1上的最大 值只能在区间端点达到(由于此处不涉及最小 值,故不需讨论区间与对称轴的关系). f(0)=m,f(1)=2-2m. 当m2-2m,又,当m2-2m, 若4-3m0,即 时,二次函数y的图象开 口向下,又它的对称轴方程 所以函 数y在0,1上是减函数. 于是ymax=f(0)=m. 由(1)、(2)可知,这个函数的最大值为,【例3】(2009连云港调研)已知不等式 的解集为a,b(
6、a,b是常数,且 0ab),求a、b的值. 分析 由于 的对称轴为x=2,区间 含参数可按a、b、2的大小关系进行分类. 解 设 显然,其对称轴为x=2. (1)当a2b时,如图1所示,函数f(x)的最小值 为1,a=1. 又axb,图1,此时,函数f(x)在a,b上的最大值为f(1)或 f(b). f(b)为最大值. 又由于f(x)在1,b上的值域为1,b, f(b)=b. (2)当2ab时,如图2所示, 函数f(x)在a,b上递增, f(a)=a,f(b)=b.,图2,解之,得a=b=4,这与已知0ab矛盾,应舍去. (3)当0ab2时,如图3所示,函数f(x)在a,b 上递减, f(a)
7、=b,f(b)=a,,图3,解之,得 这与0ab矛盾,应舍去. 综上可知,a=1,b=4. 探究拓展 对称轴与目标区间的相对位置关系影 响函数最值的获取,本例是典型的“定轴,动区 间”类问题,要围绕目标区间是否覆盖定轴作讨 论.另一类与之相对应的问题是“定区间动轴”问 题,见本例变式训练,备考者要细细体会这“一 例一变”的相似与相异之处. 当被解决的问题出现两种或两种以上情况时,为 叙述方便,使问题表述有层次、有条理,需作讨 论分别叙述.,变式训练3 设A点的坐标为(a,0),aR,求曲 线y2=2x上的点到点A距离的最小值d. 分析 本题是求两点间距离的最小值问题,代入 距离公式、转化为求二
8、次函数的最值问题.注意抛 物线上的点(x,y)应满足x0. 解 设M(x,y)为曲线y2=2x上一点. 由于x0,二次函数f(x)=x-(a-1)2+2a-1的顶 点的横坐标为x=a-1,由此作如下讨论: (1)当a1时,当x=a-1时,|MA|min=,(2)当a1时,二次函数f(x)在区间0,+)上 单调递增, 当x=0时取最小值, 【例4】某城铁路线上依次有A,B,C三站,AB=5 km,BC=3 km.在列车运行时刻表上,规定列车8时 整从A站发车,8时07分到达B站并停车1分钟,8时 12分到达C站,在实际运行时,假设列车从A站正 点发车,在B站停留1分钟,并在行驶时以同一速 度v
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- 20192012 届高三 数学 二轮 复习 01 分类 讨论 思想
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