20192015世纪金榜理科数学(广东版)3.7.ppt
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1、第七节 正弦定理和余弦定理,【知识梳理】 1.正弦定理与余弦定理,b2+c2-2bccosA,c2+a2-2cacosB,a2+b2-2abcosC,2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C,abc,2.在ABC中,已知a,b和A时,解的情况,一解,两解,一解,一解,无解,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比; 在ABC中,若sinAsinB,则AB; 在ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素; 正弦定理对钝角三角形不成立; 余弦定理对任意三角形均成立. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选C. 错误. 由正弦定理知
2、abc sin Asin Bsin C. 正确.由正弦定理知 由sin Asin B 得ab,即AB. 错误.当已知三个角时不能求三边. 错误.正弦定理对任意三角形都成立. 正确.由余弦定理的推导过程可知对任意三角形均成立.,2.已知ABC的三个内角之比为ABC=321,那么对应的 三边之比abc=( ) 【解析】选D.由ABC=321及A+B+C=180, 可解得A=90,B=60,C=30, 所以abc=sin Asin Bsin C= 即abc=,3.(2014珠海模拟)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B, C所对的边,若 A+C=2B,则sin A=( ) 【解析】选A.因为在
3、ABC中,A+C=2B,所以B=60, 由正弦定理得 所以,4(2014长春模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 则ABC一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【解析】选A.因为a=2Rsin A,b=2Rsin B,所以 可化为sin Acos B=cos Asin B,即sin(A-B)=0. 又因为-A-B,所以A-B=0,即A=B.,5.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A B30,b2,则边c_. 【解析】依题意得, 即 根据余弦定理 可得b2a2c22accos B,即 解得c 2. 答案
4、:2,6.(2014枣庄模拟)一等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么顶角的余弦值为 . 【解析】设底边长为x,则两腰长为2x,则顶角的余弦值 cos = 答案:,考点1 正弦定理的简单应用 【典例1】(1)在ABC中,A=60, b=2,那么满足条件 的ABC( ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定,(2)(2014庆阳模拟)如图,在ABC中,AB=AC=2, 点D在BC边上,ADC=75,则AD的长为_. (3)在ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,若 A=2B,则cos B=_.,【解题视点】(1)通过具体计算的方法或数形结合的方法求解. (2)根据等腰三
5、角形三线合一的性质求出角B,再利用正弦定理求解. (3)由两边之比联想用正弦定理,化为两角的正弦值之比,再利用二倍角公式化简.,【规范解答】(1)选A.方法一:因为 又A=60,且ab,所以B60,故B45,所以有一个解. 方法二:结合草图,因为A60,a=6,b=2所以ab,故三角形 有一个解.,(2)过点A作AEBC,垂足为E, 则在RtABE中, 故B=30. 在ABD中,ADB=180-ADC=180-75=105. 由正弦定理得 答案:,(3)由正弦定理得 又A=2B, 所以 所以 答案:,【互动探究】把本例(3)条件改为“在锐角ABC中,a,b,c分 别是三个内角A,B,C的对边,
6、A=2B”,试求 的取值范围. 【解析】由正弦定理得 因为ABC是锐角三角形, 所以 且 所以 且 即 所以 所以 即 的取值范围是,【易错警示】注意角的范围的确定 本例【互动探究】由ABC 是锐角三角形判断角B的范围时,要注意应保证三个内角都是锐角,否则易出现范围过大的情况.,【规律方法】 1.正弦定理的应用技巧 (1)求边:利用公式 或其他相应变形公式求解. (2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式 或其他相应变形公式求解. (3)相同的元素归到等号的一边:即 可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.,2.判断解的个数的两种方法 (1)代数法:根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正
7、弦函数的值域等判断. (2)几何图形法:根据条件画出图形,通过图形直观判断解的个数. 提醒:利用正弦定理解三角形时,要注意解的个数的判断.,【变式训练】 1.已知在ABC中,a=x,b=2,B=45,若三角 形有两解,则x的取值范围是( ) 【解析】选C.由题设条件可知x2且xsin 452, 所以,2.(2014揭阳模拟)在ABC中,若a=3, 则C的大小为_. 【解析】在ABC中,利用正弦定理 可得 所以 再利用三角形内角和为,可得 答案:,【加固训练】 1.在ABC中,a=10,B=60,C=45,则c等于( ) 【解析】选B.A=180(BC)=180(60+45)=75. 由正弦定理
8、,得,2.在ABC中,若B=2A, 则A=_. 【解析】因为 所以 即 所以 故A=30. 答案:30,考点2 余弦定理的应用 【典例2】(1)(2014青岛模拟) 已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的取值范围是( ),(2)(2013安徽高考)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=( ) 【解题视点】(1)根据锐角三角形三边关系,并结合余弦定理求解. (2)将条件统一为边,然后把三边用一个量表示,最后根据余弦定理求解.,【规范解答】(1)选B.若a是最大边,则 所以 若3是最大边,则 所以 当a=3时符合题意, 综上
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