线性规划应用PPT课件.ppt
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1、合理利用线材问题:如何下料使用材最少。 配料问题:在原料供应量的限制下如何获取最大利润。 投资问题:从投资项目中选取方案,使投资回报最大。,2.线性规划应用,建模,一、线性规划-,产品生产计划:合理利用人力、物力、财力等,使获利最大。 劳动力安排:用最少的劳动力来满足工作的需要。 运输问题:如何制定调运方案,使总运费最小。,2.线性规划应用,数学规划的建模有许多共同点,要遵循下列原则: (1)容易理解。建立的模型不但要求建模者理解,还应当让有关人员理解。这样便于考察实际问题与模型的关系,使得到的结论能够更好地应用于解决实际问题。 (2)容易查找模型中的错误。这个原则的目的显然与(1)相关。常出
2、现的错误有:书写错误和公式错误。,2.线性规划应用,(3)容易求解。对线性规划来说,容易求解问题主要是控制问题的规模,包括决策变量的个数和约束条件的个数。这条原则的实现往往会与(1)发生矛盾,在实现时需要对两条原则进行统筹考虑。,2.线性规划应用,建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤: (1)设立决策变量; (2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示; (3)用决策变量的线性函数表示目标,并确定是求极大(Max)还是极小(Min); (4)根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。,2.线性规划应用,例3.12:某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下:,人力资
3、源分配的问题,设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时 上班,并连续工作8h,问该公交线路怎样安 排司机和乘务人员,既能满足工作需要,又 配备最少司机和乘务人员?,解:设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。 目标函数:Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件:s.t. x1 + x6 60 x1 + x2 70 x2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 0,人力资源分配的问题,例3.13:某工厂要做100套钢架,每套用长为2.9 m, 2.1
4、m, 1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m,问:应如何下料,可使所用原料最省?,套裁下料问题,解:考虑下列各种下料方案(按一种逻辑顺序给出),把各种下料方案按剩余料头从小到大顺序列出,假设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面前 5 种方案下料的原材料根数。我们建立如下的数学模型。 目标函数: Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 约束条件: s.t. x1 + 2x2 + x4 100 2x3 + 2x4 + x5 100 3x1 + x2 + 2x3+ 3x5 100 x1,x2,x3,x4,x5 0,套裁下料问题,例3.14:明兴公司生产甲、乙、丙三种产品,
5、都需要经过铸造、机加工和装配 三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作,亦可以自行生产,但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问:公司为了获得最大利润,甲、乙、丙三种产品各生产多少件?甲、乙两种产品的铸造中,由本公司铸造和由外包协作各应多少件?,生产计划的问题,解:设 x1 ,x2 ,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数,x4, x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。,生产计划的问题,求 xi 的利润:利润 = 售价 - 各成本之和可得到 xi(i=1,2,3,4,5)的利润分别为15、10、7、13、9元。 这样我们建立如下数学
6、模型: 目标函数: Max 15x1+10x2+7x3+13x4+9x5 约束条件: s.t. 5x1+10x2+7x3 8000 6x1+4x2+8x3+6x4+4x5 12000 3x1+2x2+2x3+3x4+2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 0,生产计划的问题,例3.15:永久机械厂生产、三种产品,均要经过 A、B 两道工序加工。假设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工序;有三种规格的设备B1、 B2 、B3能完成 B 工序。可在 A、B的任何规格的设备上加工; 可在任意规格的A设备上加工,但对B工序,只能在B1设备上加工; 只能在A2与B2设备上加工;数据如下表。
7、问:为使该厂获得最大利润,应如何制定产品加工方案?,生产计划的问题,解:设 xijk 表示第 i 种产品,在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量. 利润 = (销售单价 - 原料单价) 产品件数之和 - (每台时的设备费用设备实际使用的总台时数)之和。,生产计划的问题,这样我们建立如下的数学模型: Max 0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123 s.t 5x111+10x2116000 ( 设备 A1 ) 7x112+9x212
8、+12x31210000( 设备 A2 ) 6x121+ 8x221 4000 ( 设备 B1 ) 4x122+11x322700 ( 设备 B2 ) 7x123 4000 ( 设备 B3 ),生产计划的问题,x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 (产品在A、B工序加工的数量相等) x211+ x212- x221 = 0 (产品在A、B工序加工的数量相等) x312 - x322 = 0 (产品在A、B工序加工的数量相等) xijk0, i=1,2,3; j=1,2; k=1,2,3,生产计划的问题,例3.16:某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的
9、产品甲、乙、丙,数据如下表。问:该厂应如何安排生产,使利润收入为最大?,配料问题,配料问题,解:设 xij 表示第 i 种(甲、乙、丙) 产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学 模型时,要考虑:,对于甲: x11,x12,x13; 对于乙: x21,x22,x23; 对于丙: x31,x32,x33; 对于原料1: x11,x21,x31; 对于原料2: x12,x22,x32; 对于原料3: x13,x23,x33;,目标函数: 利润最大,利润 = 收入 - 原料支出 约束条件:规格要求 4 个; 供应量限制 3 个。,Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10
10、x22-40x31-10x33,配料问题,s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 (原材料1不少于50%) -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 (原材料2不超过25%) 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 (原材料1不少于25%) -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 (原材料2不超过50%) x11+x21+x31 100 (供应量限制) x12+x22+x32 100 (供应量限制) x13+x23+x33 60 (供应量限制) xij0 ,i = 1,2,3; j = 1,2,3,配料问题,例3.17:某部门
11、现有资金200万元,今后五年内考虑给以下的项目投资。已知:项目A :从第一年到第五年每年年初都可投资,当年末能收回本利110%;项目B:从第一年到第四年每年年初都可投资,次年末能收回本利125%,但规定每年最大投资额不能超过30万元;项目C:需在第三年年初投资,第五年末能收回本利140%,但规定最大投资额不能超过80万元;项目D:需在第二年年初投资, 第五年末能收回本利155%,但规定最大投资额不能超过100万元。,投资问题,据测定每万元每次投资的风险指数如下表:,投资问题,a)应如何确定这些项目的每年投资额,使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大? b)应如何确定这些项目的每年投资额,使得第
12、五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小?,问:,投资问题,投资问题,解:1)确定决策变量:连续投资问题 设 xij ( i = 15,j = 1、2、3、4)表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下决策变量: A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24,2)约束条件: 第一年:A当年末可收回投资,故第一年年初应把全部资金投出去,于是: x11+ x12 = 200 第二年:B次年末才可收回投资故第二年年初的资金为1.1x11,于是: x21
13、 + x22+ x24 = 1.1x11 第三年:年初的资金为1.1x21+1.25x12,于是 : x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12 第四年:年初的资金为1.1x31+1.25x22,于是: x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22 第五年:年初的资金为1.1x41+1.25x32,于是: x51 = 1.1x41+ 1.25x32 B、C、D的投资限制: xi2 30 ( i=1,2,3,4 ), x33 80,x24 100,投资问题,a)Max z=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24 s.t.x11+ x12 = 2
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