2019年复变函数 全套课件.ppt
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1、复变函数,2,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小.,第一讲 复数及其代数运算,3,辐角的主值,4,三角表示法,指数表示法,5,方根,单连通域与多连通域,从几何上看,单连通域就是无洞、无割痕的域.,6,复变函数的概念,注意:,复变函数的极限,极限计算的定理,7,复变函数的连续性,连续的充要条件,8,解,三、典型例题,9,解,10,例,解,例5 求下列复数的辐角主值:,解,12,例 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解
2、,故三角表示式为,13,指数表示式为,故三角表示式为,指数表示式为,14,故三角表示式为,指数表示式为,6、基本问题,(1) 已知方程求图形,解,16,化简后得,一般方法:,17,解,所以它的复数形式的参数方程为,(2)已知图形求方程,例,18,解:,一般方法:,20,例,解,复数的运算,21,例,解,22,即,23,例,解,即,24,25,例1,解,三、典型例题,26,所以象的参数方程为,27,例 函数 将 平面上的下列曲线变成 平 面上的什么曲线?,解,又,于是,表示 平面上的圆.,(1),28,解,表示 平面上以 为圆心, 为半径的圆.,放映结束,按Esc退出.,29,例2,证 (一),
3、30,根据定理一可知,证 (二),31,1)导数的定义,1. 复变函数的导数与微分,2)复变函数的微分,2. 解析函数,可微,可导,连续,有定义,极限存在,解析,第二章,3. 奇点,4.可导与解析的判定,5、解析函数的判定方法,6.初等解析函数,1)指数函数,2)三角函数,3)对数函数,4)幂函数,39,例,解,解,不满足柯西黎曼方程,41,解,不满足柯西黎曼方程,42,四个偏导数均连续,43,例,证,44,例,解,45,例,解,46,例,例1,例3,解,例4,解,注意: 在实变函数中, 负数无对数, 复变函数中负数有对数.,例5,解,例6,解,答案,课堂练习,例7,解,例10 解方程,解,设
4、C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那末我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线.,如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,第三章 1.有向曲线,2.积分计算,(1)用参数方程将积分化成定积分,4.原函数的定义,(牛顿-莱布尼兹公式),5. 闭路变形原理,一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,那末,6.柯西积分公式,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,7. 高阶导数公式,8.调和函数和共轭调和函数,任何在 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数
5、.,定理 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,共轭调和函数,解:(1),例1,直线OB的参数方程为,积分都与路线C 无关,(2),直线OA的参数方程为,直线AB的参数方程为,例2,解,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,(2) 积分路径的参数方程为,(3) 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,例3,解,积分路径的参数方程为,例4,解,积分路径的参数方程为,重要结论:积分值与路径圆周的中心和半径无关.,例,解,根据柯西古萨定理, 有,例3,解,根据柯西古萨定理得,例1 计算,例2 计算,例3 计算,三、典型例题,例1,解,依题意知,根据
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