2019年把握数学本质使数学教学更有效两则案例带给我们的启示.ppt
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1、1,把握数学本质 使数学教学更有效 两则案例带给我们的启示,小学教学编辑部 殷现宾 ,2,从“数学味”谈起,数学课应该有数学味,你同意吗? 问题: 1. 为什么要有数学味?(Why) 2. 数学味指的是什么?(What) 3. 怎样的课才算是有数学味?(评价) 怎样才能使数学课有数学味?(策略) (How),3,两则案例,4,案例一 :“坑坑洼洼的怎么补啊?”,(把握学科本质是一切教学法的根2007.08) 情境一:王奶奶家门前有 一块形状如图的地,如何 求这块地的面积呢? 意图:通过引导得出方法,渗透“转化” 思想。 生:这是一块地,您怎么移动、怎么“补”啊? 师:这不是真的地,我们现在是在
2、做数学题。 该学生不再“找茬”。,5,案例一,情境二:李奶奶家门前 也有一块地,是这个形 状,怎么求它的面积呢? 教师的意图是将该“地”近似看成平行四边形,从而引出本课内容。 该生:老师,这块“地”坑坑洼洼的,您怎么补啊? 师:不是说了吗,这不是真的地,我们是在做“数学题”。,6,类似例子: 地球自转:“坐地日行八万里” 1667km/h rou(即绕着中心快速地转圈) 问题:这两个“傻”问题的实质是什么? 第一次:这是一块地,怎么移动、怎么“补”啊? 学生没有弄清“什么是数学” “什么是运用数学解决实际问题”。(横向数学化),7,第二次:“地” 的边界是“坑坑洼洼的”,用哪个“凸”补哪个“凹
3、”呢? 朴素而又深刻: 求面积,用面积单位铺面积单位个数m2大,换成dm2;不规则图形 “面积”问题积分 近似整体思想;精确积分思想 这个案例给我们的启示是什么?,8,启 示,1. 弄清学生问题的实质。 价值判断决策(机制)。例:投影屏幕与电脑的体积 注意:越是简单朴素的问题往往越蕴涵着数学本质的思想方法。 2. 提高自身的数学素养,增强判断力。 3. 追问:什么是“数学化”?研读作为教育任务的数学(弗赖登塔尔著) “积分思想”到底指什么?高等数学,9,案例二:减法的初步认识,1. 创设情境,生发现信息并提出问题: 停车场原来有5辆小汽车,开走了2辆,还剩几辆? (学生顺利列出算式) 2. 要
4、求:利用学具,自己动手创造一个用减法解决的问题,并列式解决。 【亲历减法意义的感知过程,并板书各种算式,为后续观察、比较、总结作准备】,10,3. 交流汇报: 女孩:“我本来拿了5个小水果,送给同桌2个,我还剩几个水果?我列的算式是5-2=3。” 男孩:“怎么还是5-2=3啊?重复了!” 女孩辩解:“没重复,这次不是汽车,是水果。” 男孩:“反正也是5-2=3,还说不重复?” 大部分学生同意男孩的看法,但也觉得女孩说得有道理,辩论不出结果。 【对这样的“冲突”,你会怎么处理?】,11,师:“你能再想一件事情,也用5-2=3来表示吗?” 孩子们编出很多情境,如教室有5个小朋友草地上有5朵小花有5
5、支铅笔 刚发完言的一个学生:“这样的事情我还能说好多呢,都可以用5-2=3表示,5-2=3的本领真大呀!” 【这样处理是不是很好?该结束了吧?】,12,师(捅破“窗户纸”):有的事情发生在停车场里,有的事情发生在教室里。为什么完全不一样的事,却能用同一个算式来表示呢? 学生们终于发现,虽然事件不一样,但同一个算式所表示的意思都是一样的。 教师趁热打铁,又问:“3+6=9可以表示的事情多不多?那就一个数8都可以表示什么?” 学生脱口而出:“那太多了!” 教师又问:“你现在有什么想法?” 生:“我觉得数和算式都太神奇了,能表示那么多不同的事物!”,13,启 示,1. 设计有过程的教学。 经历、体验
6、经验。减法意义的感知。 2. 提出好的问题。(张齐华:半径有无数条吗?你能用一个数对表示一排吗?) 3. 该出手时就出手。(决策:忽略;肯定或否定;延伸) (1)“重复了,咱就不写了。” (2)“你能再想一件事情”(更多例证) “有的事情发生在停车场里,有的” (抽象) 怎样出手?不仅取决于教育观念,更取决于教师的数学素养。(要不要出定义、法则?) 追问:数学素养包括哪些方面?数学本质?,14,“好(有价值)的问题”的标准,1、具有较强的探索性。(力所能及) 2、具有一定的启示意义。(有利于学生掌握相关的数学知识和思想方法) 3、具有多种解法甚至多种答案。 4、具有一定的发展余地。 5、具有一
7、定的现实意义或与实际生活相联系。 6、有利于合作学习。 7、问题的表述应简单易懂。,15,什么是数学的本质?,什么是“数学味”? 怎样的课才算是有数学味? 怎样使数学课有数学味? 体现数学的特点,突出数学的本质 数学的特点:高度的抽象性(减法) 严密的逻辑性(算理) 应用的广泛性,16,课标:数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论,并进行广泛应用的过程。 问题情境建立模型解释、应用与拓展(数学:模式的科学)(数学化) 修订版课标:数学是研究现实世界中数量关系和空间形式(量性特征)的科学。,17,资料:碳排放权交易,2008年9月,(慈溪风电场 )首期33台风能发电
8、机组全部并网发电,年发电量约亿千瓦时,可供2万至3万户居民家庭用电 一年能“腾”出9万吨二氧化碳减排指标。按目前国际市场上每吨“指标”约10美元计算,慈溪风电场每年的指标可换90万美元,约600万元人民币。,18,数学学科的本质是指,数学基本概念 数学思想方法 数学特有的思维方式 数学美 数学精神,19,(一)对数学基本概念的理解 小学的基本概念主要有: 十进位值制、单位(份)、用字母表示数、四则运算; 位置、变换、平面图形; 统计观念。 “理解”是指了解: 1. 为什么要学习这一概念?其现实原型是什么? 2.这一概念特有的数学内涵是什么? 3.以此概念为核心能否构建一个“概念网络图”?,20
9、,数学定义数学概念。(经历过程,感知、体验) 经历不同认知过程,才能达到不同理解水平: 模仿与辨别事实性水平; 归纳与抽象概念性水平; 综合与应用方法性水平; 猜想与创造主体性水平。 例:1.牛献礼教学要挠到学生的“痒”处 (小学教学数学版 2010.04) 2.张齐华确定位置(字母表示数),21,(二)对数学思想方法的把握 小学阶段的重要思想方法:分类思想、转化(化归)思想、数形结合思想、一一对应思想、函数思想、方程思想、集合思想、符号化思想、类比法、不完全归纳法等。 如何落实在学习数学概念和解决问题中。 化归:物理学家和数学家的对话 二年级“逻辑”一课,22,(三)对数学特有的思维方式的感
10、悟 主要有:比较、类比、抽象、概括、猜想、验证。其中“抽象”是数学思维方式的核心。(郑毓信走进数学思维2008.5-11) 数学是思维的体操,是开启智慧的钥匙。 (四)对数学美的鉴赏 有助于培养学生对待数学学习的积极态度。 数学的基本原则:求真、求简、求美。 数学美是指:简洁、对称、奇异。其中对称”是数学美的核心。(三角形内角和;e-2i=1),23,(五)对数学精神的追求 理性精神(如对公理化思想”的信奉) 探究精神(好奇心为基础,对理性的不懈追求) 它们是支撑数学家研究数学进而研究世界的动力,也是学生学习数学、研究世界最永恒、最有效的动力。 三角形内角和:测量、剪拼、折叠证明 “欧氏几何”
11、罗巴切夫斯基几何黎曼几何 勾股定理费尔马大定理(1637年提出) (英籍数学家怀尔斯1995年证得。历时300年) 四色定理:1852提出,1976年用计算机证得。 哥德巴赫猜想和角谷猜想(2009.11),24,三、怎样把握数学本质?,(一)有关策略 1.主动进修。 (提高自身专业素养) (1) 专门进修。学习数学专业课程。 (2) 业余进修。如:数学专业书籍,报刊。 2. 做中学。(积累经验) (1)向学生学习。把握(研究)学生的问题和错误的本质。,25,(2)在追问把握本质。(要有长时间思考一个问题的习惯)(开放,不放过有价值的问题。如,这些问题你会解答吗?) (3) 与大师对话。(刘加
12、霞小学数学课堂的有效教学书;张奠宙小学数学研究书;郑毓信数学思维与小学数学书;张齐华平均数(2009.05)与吴正宪平均数 与张奠宙先生的讨论:1(0.9) 2(分数),26,(二)案例 1.“循环小数” 2008.11 2.电话号码与数(贲友林)2009.10期 3.两个数与三个数的最小公倍数 (数学教师亟需丰富内涵 2007.01) 4.点点统计图 (一节统计课留给我们的思考2007.04) 5.烦人的“端点”,27,6.朱乐平:要求长方形面积,必须知道长和宽吗“充分条件”2006.01;练习课,原来还可以这样上2009.09 7.数学美: 唐彩斌数学原来可以那么美2008.7-8;蒋明玉
13、数形结合 探究规律2008.03;二进制与计算机(2008.02) 角谷猜想(数学黑洞)2009.11;歌德巴赫猜想;无理数第一次数学危机;九宫图(2008.7-8,9)、四色定理,28,8.运算定律与归纳法 不完全归纳法和数学归纳法,递归。 9.综合与应用:“打电话问题” 10.专家(刘加霞)评课: “100以内数的认识”2009.09; “百数表”2009.10; ,29,总 结,创设好的情境(数学问题)(骄傲的“9”) 提出有价值的问题 设计有过程的教学(在过程中体验、感悟) 把握(研究)学生的问题和错误的本质 该出手时就出手 在追问中把握本质(养成长时间思考一个问题的习惯,如0.999
14、=1?) 提高自身的数学素养(治本之策),30,写作时应注意:,1、尽可能围绕一个(小)问题来写,将其说清楚、讲透彻。 2、对案例做出针对性的分析,不能两张皮。对于问题,一般应提出对策。 3、不求写得很长(一般10004000字),而是求深度。 4、文体不限,尽可能“万变”(先叙后议、先议后叙、夹叙夹议等)。,31,投稿时应注意:,1、有针对性地投稿。如针对杂志,小学教学杂志喜欢案例与反思类的文章;也可针对栏目投稿,如“讨论吧”。 2、时间性强(如涉及教学进度)的文章。一般提前34个月投稿。 3、注意反思和交流。与同事、有经验的作者、编辑等交流。 4、千万不要同时一稿多投。 (一般3个月后未接
15、到通知或未见发表可另投),32,(450004)郑州市顺河路 11号 小学教学编辑部 殷现宾 电 话:0371-66370590 E-mail: 欢迎投稿和订阅(语文版36-37, 数学版36-307),谢谢!,33,34,35,36,37,2010.1话题:数学课堂是否应该关注非数学问题(2009.09),“有余数除法” 课上的一道题: “我们班50名同学去划船,一条船只能坐9人,那么我们需要租几条船?” 学生列式:509=5(条)5(人) 剩下的5人要不要再租1条船?学生争论不休: 生1:不应该再租1条船,那样太浪费了,每条船再多坐1人就行了。 (许多学生表示赞同),38,生2:老师,现在
16、什么运输工具不超载呀?不超载哪能挣钱? 生3:我爸是司机,他开的是载重5吨的车子,每次都装近10吨的货,一次事故都没有发生过。 生4:(笑嘻嘻地)老师,有一次我过河赶集,船上已经很挤了,我看到你还是硬挤上去了。不是也顺利过河了吗? (全班学生哄堂大笑) 您在课堂上遇到过这样的情况吗?对于这样的非数学问题,您认为该怎么处理? 【返回】,39,循环小数(2008.11),它决不是从“从前有座山”得来的。这位老师:让做题最慢和最快的两生比赛,分别做38和5012。结果“不公平”,从而说理由、探索 还有:让学生计算19、29后,老师说:“好,下面不算了,咱们猜” “39=?” “89=?”“0.888
17、”“99=?”“0.999”刚说完又觉得不对劲,“1!”“1!” 地喊起来 【返回】,40,新课程下,数学教师亟需提高内涵,(浙江省绍兴市马山镇袍江小学 屠芝娟)(2007.01) 背景:教学“求三个数的最小公倍数” ,学生都认为跟两个数的情况差不多。于是老师出三个数12、16、18让学生试做。结果是:2689=864。 接着,学生与书上对照后提出:“为什么在短除法中还要除以两个数的公约数?”情急之下:“你们用写倍数的方法找找看。”,41,探寻:学生期盼的目光迫使我再次翻开自考后尘封已久的数论简明教程。 定理1:a,b=ab/(a,b); 定理2:若a1,a2=m2,m2,a3=m3, ,mn
18、-1,an=mn, 则a1,a2,an=mn。 接着,自己琢磨,然后推出:m3=a1a2a3(a1,a2,a3)/(a1,a2)(a1,a3)(a2,a3) 重新设计: 感悟:,42,我审稿时评价: “心灵的震撼” 1.教学开放; 2.敬业; 3.文章好; 4.农村教师就能达到这样的水平,厉害! 【返回】,43,“数字与信息”导入(贲友林 ),1. 屏幕出示: 师:认识吗?看到“1”,你想到了什么? 生:1个苹果。 生:我想到比赛第1名。 生:我想到了1张桌子。 师:1个苹果,1张桌子,这里的1表示什么? 生:数量。 (板书:数量。),44,师:大家的发言比较积极,感谢第1位发言的同学!刚才有
19、同学说,比赛第1名,这里“第1名”中的“1”,以及 “第1位”中的“1”,表示什么? 生:次序、顺序。 (师板书:顺序) 2. 继续出示: 师:这是10,它可以表示数量吗?可以表示顺序吗?举例说说。 生:10个梨,10表示数量。 生:第10名,10表示顺序。,45,3. 继续出示: 师:你又想到了什么? 生:110个苹果,数量;第110名,顺序。 生:我想到了警车“110”。(报警电话) 师:110是一个数,换个角度看,1、1、0这三个数字的组合,传递给我们的信息是一个特殊的电话号码。通常怎么读?它还表示数量吗?顺序?这是把三个数字进行编码。 (板书:编码) 师:数字组成数,可以用来表示数量、
20、顺序,表达信息;数字通过编码,也表达了一定的信息。 【返回1】 【返回2】,46,打电话问题(综合应用),一、对教材的思考与困惑(打电话1、2) 教材的安排:直接给出“老师打电话通知15人,每分钟通知1人,帮助老师设计一个打电话的方案”。提示:“一个一个通知分组通知更快的方法(画树状图)发现规律”。最后解决 “照这样通知50人最少花多少时间”的问题 。 我的困惑:学生想到“一个一个通知”没问题,但能否想到“分组通知”呢?“分组通知”的情况有很多,如何引到画“树状图”来思考呢? 让五年级学生发现“2的n次方减1”的规律已经很困难,又如何逆向思考解决“通知50人”的问题呢?,47,48,49,我的
21、选择有两个: 一是完全放开,即直接把“通知15人”的问题抛给学生。大胆放手,让学生用大量的时间进行小组合作,探究出“打电话”的各种各样的方案。在此基础上再归纳到“最省时方案”上。 二是注重用数学思想方法解决问题的指导。即引导学生由“1分钟最多通知几人”这个最简单、特殊的情况入手进行分析,按照一定的顺序进而分析2分钟、3分钟最多通知几人如此逐步进行。,50,二、教学前测 目的:考查教学内容的难易程度以及学生对运用“画图”方法思考问题的情况。 (1)老师直接叙述问题:一个合唱队共有15人,周末接到一个紧急演出的任务,老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式,每分钟通知1人,最少用多长时间通
22、知所有队员? 全班学生马上反应:15分钟,没有异议出现。 分析:看来学生忽略了问题中的“最少”。 (2)老师停了停,追问:“都认为是15分钟吗?” 有学生举起手来,他们认为先接到通知的可以通知下一名同学,这样节省时间。,51,(3)老师采用打电话的方式,每分钟通知1人,2分钟最多通知多少人?试着把你的想法用最简洁、最清晰明了的方式表示在数学纸上。 A表示形式 (共41人) 用文字叙述思路的(6人);画“小人”等图示表示的(3人);写“师、生”等汉字图示表示的(25人);写字母图示表示的(1人);画符号图示表示的(2人) ;其他表示方法(4人)。 分析:在老师的提示下,大多数学生能用画图的方式表
23、达。但多数学生不会用简洁的符号进行画图,看来用画“树状图”的方式思考还需指导。,52,B表示结果 认为最多通知 2人的(1人);认为最多通知 3人的(35人);认为最多通知 4人的(2人);思路不清的(3人)。 分析:对于“2分钟最多通知多少人”这样较简单的问题在前面的提示(先接到通知的可以通知下一名同学)下,大部分学生能采用最省时方案,但仍有学生不会采用最省时方案。,53,三、教学过程 (一)初步探究,发现最优 (出示问题) 一个合唱队共有15人,周末接到一个紧急演出的任务,老师需要尽快通知到每一个队员。如果采用打电话的方式,每分钟通知1人,最少用多长时间通知所有队员? 多数学生:15分钟。
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