数字信号处理(第三版)_课后习题答案全_(原题+答案+图).ppt
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1、1.4 习题与上机题解答 1. 用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。,题1图,解: x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1) +2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6) 2 给定信号: 2n+5 4n1 6 0n4 0 其它 (1) 画出x(n)序列的波形, 标上各序列值; (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列;,(x(n)=,(3) 令x1(n)=2x(n2), 试画出x1(n)波形; (4) 令x2(n)=2x(n+2), 试画出x2(n)波形; (5) 令x3(n)=x(2n), 试画出x3(n)波形。 解: (1)
2、x(n)序列的波形如题2解图(一)所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4),(3) x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位, 再乘以2, 画出图形如题2解图(二)所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位, 再乘以2, 画出图形如题2解图(三)所示。 (5) 画x3(n)时, 先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180), 然后再右移2位, x3(n)波形如题2解图(四)所示。,题2解图(一),题2解图(二),题2解图(三),题2解图(四),3 判断下面的序列是否是周
3、期的; 若是周期的, 确定其周期。 ,(1),(2),解: (1) 因为= , 所以 , 这是有理数, 因此是周期序列, 周期T=14。 (2) 因为= , 所以 =16, 这是无理数, 因此是非周期序列。,4 对题1图给出的x(n)要求: (1) 画出x(n)的波形; (2) 计算xe(n)= x(n)+x(n), 并画出xe(n)波形; (3) 计算xo(n)= x(n)x(n), 并画出xo(n)波形; (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较, 你能得到什么结论?,解:(1) x(n)的波形如题4解图(一)所示。 (2) 将x(n)与x(n)的波形
4、对应相加, 再除以2, 得到xe(n)。 毫无疑问, 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图(二)所示。 (3) 画出xo(n)的波形如题4解图(三)所示。,题4解图(一),题4解图(二),题4解图(三),(4) 很容易证明: x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n) 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。 偶对称序列可以用题中(2)的公式计算, 奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5 设系统分别用下面的差分方程描述, x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出, 判断系统是否是线性非时变的。 (1)y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) (2)y(n)=
5、2x(n)+3 (3)y(n)=x(nn0) n0为整常数 (4)y(n)=x(n),(5)y(n)=x2(n) (6)y(n)=x(n2) (7)y(n)= (8)y(n)=x(n)sin(n) 解: (1) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n),故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3a
6、x1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2) 所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) 故该系统是线性系统。,(2) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=2x(nn0)+3 y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n) 故该系统是非时变的。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3 Tax1(n)=2ax1(n)+3 Tbx2(n)=2bx2(n)+3 Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n) 故该系统是非线性系统。,(3) 这是一个延时器, 延时器是线性非时变系统, 下面证明。 令
7、输入为 x(nn1) 输出为 y(n)=x(nn1n0) y(nn1)=x(nn1n0)=y(n) 故延时器是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0) =aTx1(n)+bTx2(n) 故延时器是线性系统。,(4) y(n)=x(n) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(n+n0) y(nn0)=x(n+n0)=y(n) 因此系统是线性系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n) =aTx1(n)+bTx2(n) 因此系统是非时变系统。,(5) y(n)=x2(n) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x2(
8、nn0) y(nn0)=x2(nn0)=y(n) 故系统是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n) 因此系统是非线性系统。,(6) y(n)=x(n2) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(nn0)2) y(nn0)=x(nn0)2)=y(n) 故系统是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系统是线性系统。,(7) y(n)= x(m) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)= =0DD)x(m-n0
9、) y(nn0)= x(m)y(n) 故系统是时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)= ax1(m)+bx2(m) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系统是线性系统。,(8) y(n)=x(n) sin(n) 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(nn0) sin(n) y(nn0)=x(nn0) sin(nn0)y(n) 故系统不是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系统是线性系统。,6 给定下述系统的差分方程, 试判定系统是否是因果稳定系统, 并说明理由。 (1) y
10、(n)= x(nk) (2) y(n)=x(n)+x(n+1) (3) y(n)= x(k) (4) y(n)=x(nn0) (5) y(n)=ex(n),解:(1)只要N1, 该系统就是因果系统, 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|M, 因此系统是稳定系统。 (2) 该系统是非因果系统, 因为n时间的输出还和n时间以后(n+1)时间)的输入有关。如果|x(n)|M, 则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系统是稳定系统。 (3) 如果|x(n)|M, 则|y(n)| |x(k)|2n0+1|M, 因此系统是稳定的; 假设n00,
11、 系统是非因果的, 因为输出还和x(n)的将来值有关。,(4)假设n00, 系统是因果系统, 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|M, 因此系统是稳定的。 (5) 系统是因果系统, 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM, 因此系统是稳定的。 7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示, 要求画出y(n)输出的波形。 解: 解法(一)采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)= x(m)h(nm),题7图,y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.
12、5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,解法(二) 采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为 x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3) h(n)=2(n)+(n1)+ (n2) 由于 x(n)*(n)=x(n) x(n)*A(nk)=Ax(nk) 故,y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+ x(n2) 将x(n)的表示式代入上式, 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5),8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(
13、n)和输入x(n)分别有以下三种情况, 分别求出输出y(n)。 (1) h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) (2) h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2) (3) h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n) 解: (1) y(n)=x(n)*h(n)= R4(m)R5(nm) 先确定求和域。 由R4(m)和R5(nm)确定y(n)对于m的 非零区间如下: 0m3 4mn,根据非零区间, 将n分成四种情况求解: n7时, y(n)=0,最后结果为 0 n7 n+1 0n3 8n 4n7 y(n)的波形如题8解图(一)所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2
14、)=2R4(n)2R4(n2) =2(n)+(n1)(n+4)(n+5) y(n)的波形如题8解图(二)所示,y(n)=,题8解图(一),题8解图(二),(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm) =0.5n R5(m)0.5mu(nm) y(n)对于m 的非零区间为 0m4, mn n0时, y(n)=0 0n4时,,=(10.5n1)0.5n=20.5n, n5时,最后写成统一表达式: y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5),9 证明线性卷积服从交换律、 结合律和分配律, 即证明下面等式成立: (1) x(n)*h(n)=h(n)*x(n)
15、 (2) x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n) (3) x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) 证明: (1) 因为 令m=nm, 则,(2) 利用上面已证明的结果, 得到,交换求和号的次序, 得到,10 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n), 系统的输入x(n)是一些观测数据, 设x(n)=x0, x1, x2, , xk, , 试利用递推法求系统的输出y(n)。 递推时设系统初始状态为零状态。,解:,n=0时,,n0,n=1时,,n=2时,,最后得到,11 设系统由下面差分方程描述:,设系统是因果
16、的, 利用递推法求系统的单位脉冲响应。,解: 令x(n)=(n), 则,n=0时,,n=1时,,n=2时,,n=3时,,归纳起来, 结果为,12. 设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述, 初始条件y(-1)=0, 试分析该系统是否是线性非时变系统。 解: 分析的方法是让系统输入分别为(n)、 (n1)、 (n)+(n1)时, 求它的输出, 再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。 (1) 令x(n)=(n), 这时系统的输出用y1(n)表示。,该情况在教材例1.4.1 中已求出, 系统的输出为 y1(n)=anu(n),(2) 令x(n)=(n1), 这时系统的输出用y2(n
17、)表示。,n=0时,,n=1时,,n=2时,,任意 n 时,,最后得到,(3) 令x(n)=(n)+(n1), 系统的输出用y3(n)表示。,n=0时,,n=1时,,n=2时,,n=3时,,任意 n 时,,最后得到,由(1)和(2)得到 y1(n)=T(n), y2(n)=T(n1) y1(n)=y2(n1) 因此可断言这是一个时不变系统。 情况(3)的输入信号是情况(1)和情况(2)输入信号的相加信号, 因此y3(n)=T(n)+(n1)。 观察y1(n)、 y2(n)、 y3(n), 得到y3(n)=y1(n)+y2(n), 因此该系统是线性系统。 最后得到结论: 用差分方程y(n)=ay
18、(n1)+x(n), 0a1描写的系统, 当初始条件为零时, 是一个线性时不变系统。,13 有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j), 式中, f=20 Hz, j=/2。 (1) 求出xa(t)的周期; (2) 用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样, 试写出采样信号 的表达式; (3) 画出对应 的时域离散信号(序列)x(n)的波形, 并求出x(n)的周期。 解: (1) xa(t)的周期为,(2),(3) x(n)的数字频率=0.8, 故 , 因而周期N=5, 所以 x(n)=cos(0.8n+/2) 画出其波形如题13解图所示。,题13解图,14. 已知滑动平均滤波器的差分
19、方程为,(1) 求出该滤波器的单位脉冲响应; (2) 如果输入信号波形如前面例1.3.4的图1.3.1所示, 试求出y(n)并画出它的波形。 解: (1) 将题中差分方程中的x(n)用(n)代替, 得到该滤波器的单位脉冲响应, 即,(2) 已知输入信号, 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为,表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。 计算时, 表中x(k)不动, h(k)反转后变成h(k), h(nk)则随着n的加大向右滑动, 每滑动一次, 将h(nk)和x(k)对应相乘, 再相加和平均, 得到相应的y(n)。 “滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。 最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。
20、 该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化, 使波形变化缓慢。,15*. 已知系统的差分方程和输入信号分别为,用递推法计算系统的零状态响应。 解: 求解程序ex115.m如下: %程序ex115.m % 调用filter解差分方程y(n)+0.5y(n1)=x(n)+2x(n2) xn=1, 2, 3, 4, 2, 1, zeros(1, 10); %x(n)=单位脉冲序列, 长度N=31 B=1, 0, 2; A=1, 0.5; %差分方程系数,yn=filter(B, A, xn) %调用filter解差分方程, 求系统输 出信号y(n) n=0: length(yn)1; s
21、ubplot(3, 2, 1); stem(n, yn, .) ; axis(1, 15, 2, 8) title(系统的零状态响应 ); xlabel(n); ylabel(y(n) 程序运行结果:,yn =1.0000 1.5000 4.2500 5.8750 5.0625 6.4688 0.7656 1.6172 -0.8086 0.4043 -0.2021 0.1011 -0.0505 0.0253 -0.0126 0.0063 -0.0032 0.0016 -0.0008 0.0004 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 程序运行
22、结果的y(n)波形图如题15*解图所示。,题15*解图,16*. 已知两个系统的差分方程分别为 (1)y(n)=0.6y(n1)0.08y(n2)+x(n) (2)y(n)=0.7y(n1)0.1y(n2)+2x(n)x(n2) 分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。 解: (1) 系统差分方程的系数向量为 B1=1, A1=1, 0.6, 0.08 (2) 系统差分方程的系数向量为 B2=2, 0, 1, A2=1, 0.7, 0.1,2.5 习题与上机题解答 1 设X(ej)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换, 试求下面序列的傅里叶变换: (1) x(nn0) (
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