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1、第一章 集合,2007.7,一.普通高中课程改革情况介绍,(一)改革进程,2003年公布新方案,新课程标准,组织教材编写和审查 2004年,山东,广东,海南,宁夏 2005年,江苏 2006年,辽宁,天津,浙江,福建,安徽 2007年,黑龙江,吉林,北京,湖南,陕西,(二)高中课标教材,“一纲多本”的原则,人教A、B 版;北师大版;江苏版;湖南版等 北京市以中轴线为界分为东片和西片,数学学科分别使用人教A,B 版,二.高中数学课程框架,旧教材的内容及顺序,第一章 集合与简易逻辑 第二章 函数 第三章 数列 第四章 三角函数 第五章 平面向量 第六章 不等式 第七章 直线与圆的方程 第八章 圆锥
2、曲线 第九章 直线 平面 简单几何体 第十章 排列 组合 概率 选修 (概率与统计 极限 导数与微分 复数),课程内容设计,设计的特点,模块化、分层次 必选必考:文理各二个层次。必修、系列1和系列2 选学选考:系列4 选学不考,记学分:系列3,内容安排发生变化,集合与逻辑分开 立几分两个层次 :立体几何初步、空间向量与立体几何(文36 18,理36 30) 解析几何分两个层次:必修中,先学直线与圆, 后学三角. 圆锥曲线移到选修(4430) 在导数专题下,学习没有极限的微积分( 4424) 先统计,后概率。分两个层次(1838) 增加数系的扩充过程,只学复数的代数形式及运算(184)幂函数 算
3、法 推理与证明,大纲教材与课标教材的比较,指导思想: 课标教材:模块化 螺旋上升 关注学生学习心理 基础性 选择性 多样性 大纲教材:系统性 逻辑性 关注知识体系的合理性 基础性,三.北京市教学指导意见,(1)关于学分,学分制管理, 每位学生修满三年至少获得144学分方可毕业;其中在数学学科要完成20(或16)学分的学习 每个模块2学分(36学时),每个专题1学分 ( 18学时),每两个专题可组成一个模块。,(2)数学课程的学分要求,文科: 学完必修5个模块获10个学分,学完系列1-1和1-2获4个学分,再任选2个专题(高考不考)获2个学分,共获16个学分 理科: 学完必修5个模块获10个学分
4、,学完系列2-1和2-2和2-3获6个学分,学习系列4中的几何证明选讲和坐标系与参数方程获2个学分,再任选2个专题(高考不考)获2个学分,共获20 个学分,(3)关于评价,模块结业考试 北京市还要会考,(4)房山区教学安排,在必修课程的教学中, 按数学1、数学4、数学5、数学2、数学3 的顺序安排教学内容。,(5)任意选修建议,可选数学史选讲等 开课方式可灵活多样 评价形式可灵活多样,四. B 版教材的编写特色,通性通法、主线贯通 强调说理、注重过程 融入算法、整合技术 温故知新、广泛适用,1. 重通性、通法. 以通性、通法为主线沟通各知识块间的联系.,以近代数学思想、方法作指导,对基本教学内
5、容进行再创造;用通性通法沟通各知识块间的联系:数学中的通性通法是作为教育数学的精髓. 在教材编写时,以方法为主线,以通性求通解. 用通性、通法解决各种各样的数学问题,又通过解数学问题,使学生牢固地掌握数学方法.,通性:数系通性、代数运算的性质、空间的基本性质、平移、平行射影和旋转对称等变换的基本性质. 通法:归纳类比、综合推理、代数方法、坐标法、微分法、统计方法等 通性、通法 在学习各个知识模块时,几乎都要用到,这些思想方法都是非常精简、锐利的工具.学生容易掌握它们, 用它们解决各种各样的数学问题.,代数方法:教材始终注重培养学生运用算律、算法和整理代数式的能力。其中: 设未知数列方程(不等式
6、)、方程组(不等式组)解方程(方程组)、解方程组(不等到式组). 配方法:研究二次方程,二次函数和二次曲线的性质. 待定系数法:求未知函数和方程. 算法: 把任何计算方法整理为算法步骤,向量坐标法:数、形结合贯彻教材始终。 在函数的教学中强调对函数式的分析作函数的图象。 在解析几何初步中,完全用代数方法处理直线和圆相关的几何问题。 用向量的坐标运算处理立体几何和三角问题。,微分法:整个高中数学教材中贯彻微积分思想。微分法是研究高中数学最得力的工具。 在学习一般函数性质量引入增量、差商x、y, y/ x。函数变化的快慢(平均变化率的直观描述) 在解析几何中加强对斜率k代数(几何)意义的描述。算法
7、和统计的编写中渗透无穷小计算和极限。用图象表示概率分布 系列1和2,直观地学习简易微分法,2. 强调说理、重探索过程,一定要让学生明白道理。这是学生对数学产生兴趣,学好数学最基本的起点. 要想法、设法让学生理解基本的数学概念和数学结论的本质。让学生了解概念、结论产生的背景.引导学生发现结论、独立思考、说出理由,进行创造性的学习。在不适合进行逻辑推理的地方,要通过验证、实践、归纳等方法进行说理,一定让学生弄明白数学结论的本质。,传统观念,常常把计算能力和推理能力分开,实际上,在现代数学中的定理的证明和问题的解决,大多通过计算来完成。计算可以说是至精至简的推理。课标教材的立体几何已转向用向量代数来
8、学习,这样”形到形”综合推理的要求大大消弱。 全套教材自始自终重视计算与计算推理能力的培养.,3. 融入算法思想,整合信息技术 -探索我国中学数学教育和教材发展的道路,中国古代数学中蕴含丰富的算法思想,并注重应用,中国数学及数学教育有着自己独有的发展道路。在“标准”中,增加了算法一章,并提出把算法思想融入到相关内容,这一理念启发我们研究我国数学教育传统和特色,并努力在全套教材中贯彻算法思想。培养学生按步骤解题的良好习惯.,教材提供了三个信息技术软件平台: Scilab科学计算自由软件 openOffice工作表 几何画板 前二个都是自由软件可在有关网站上免费下载,4. 温故知新、深入浅出、加大
9、使用弹性,降低知识的层面, 温故知新,尽可能的返到知识的低层,对不同的基础知识,在不同的层面上反复循环,让学生熟练掌握.,教材力求编的细致,说理清晰,教师在搞懂教材的基础上,一般就能较顺利地完成教学任务。学生在教师的指导下能够自学。在教材编写时,又特别关注重点中学教学的需要,为数学学习较好的学生提供一定的发展空间。为此每章编写结构为:引言、核心内容、思考与讨论、探索与研究,在边栏中设置“问题”、“注意”、“说明”等项目,帮助学思考问题。练习和习题分A、B组,供有不同教学要求的教师选用。,五.高一第一学期课程安排,新教材:要学习必修1和必修4共约280页。 内容共6章:集合;函数;基本初等函数(
10、1)基本初等函数(2);平面向量;恒等变形 旧教材:学习第一册上 共约140页 内容共3章:集合与简易逻辑;函数;数列,六. 必修1 第一章集合教材分析,必修一的内容与义务教育相衔接,又是高中 数学的起始,是学习高中数学其他模块的基 础,它起着承上启下和奠基的重要作用。 这就要求高一教学要充分利用初中已学知识 和已有思维水准,努力做好过渡,提供高中 数学学习的基础语言、基础工具和基础知识, 为进一步学习打好坚实基础。,(一)课标要求与大纲要求的比较,(二)不同版本教材比较,1. 教学内容的安排上: 旧教材的第一章包含集合,简单不等式的解法,简易逻辑; 新教材只学集合。,关于简单不等式解法的安排
11、: 一元二次不等式的解法放到模块5中学习; 绝对值不等式放到系列4不等式选讲中(北京高考不要求); 简易逻辑改为“常用逻辑用语”放到系列1和系列2中;,2. 某些知识的处理上:,(1)集合概念的引入 A 和旧版本一样,由学生初中已接触到的集合知识引入,不等式的解集,圆的定义,线段的垂直平分线等 B 版由日常生活中熟悉的“整体”“一类”“一群”等引入,(2)集合的描述性定义: 旧版:某些指定的对象集在一起就成为一个集合。集合中的每个对象叫做这个集合的元素。 A 版:把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。 B 版:我们看到的、听到的、闻到的、触摸到、想到的各种各样的事物或一些抽象的符
12、号,都可以看作对象,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集),(3)描述法:,旧版:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的 方 法。 A 版:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。在 内写上这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画|,在后面写出这个集合中元素所具有的共同特征。 B 版:叫特征性质描述法(描述法) 如果在集合I 中,属于集合A 的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x), 则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质。于是集合A 可以用它的特征性质p(x)描述为 x I| p(
13、x) .它表示集合A是由集合I 中具有性质p(x)的所有元素构成的。 这种表示集合的方法叫做特征性质描述法(简称描述法),(4)B 版中增加“利用特征性质研究集合之间的关系”,教材第12页:集合关系与其特征性质之间的关系 设A=x | p(x) , B=x | q(x) 如果A B 则p(x) q(x); 反之如果 p(x) q(x) 则 A B。 如果命题p(x) q(x)和命题 p(x) q(x)都是正确命题,常说一个命题的条件和结论可以互相推出,表示为 p(x) q(x),(5)集合的运算,B 版 :对于给定的两个集合A、B, 由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 与B 的交集
14、。由两个集合的所有元素构成的集合,叫做A 与B 的并集。没出现记号AB=x| xa, 且xb 和AB=x| xa, 或xb 旧版和A 办一样:由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合叫做A 与B 的交集。 即 AB=x| xa, 且xb 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做A 与B 的并集。 AB=x| xa, 或xb ,B版:在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么,称这个给定集合为全集。 如果给定集合A是全集U的一个子集,由U中不属于A的所有元素构成的集合,叫做A在U中的补集. A版:如果一个集合包含我们所研究问题涉及的所有元
15、素,那么就称这个集合为全集。 对于一个集合,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合,叫做A相对于全集U的补集. CUA =x|xU, 且x A,(三) 教材的处理建议,1. 关于例题和习题: 教材中出现的集合都是学生熟悉的,涉及日常生活和数学知识的。数集(奇数,偶数,质数,素数等);解集(方程(组),不等式(组);几何图形;点集等,教材第7页 例2(3)在平面 内,线段AB的垂直平分线: 表示为 点P平面 |PA=PB 教材第15页 直线L与圆O交于AB两点 表示为LO=A,B 教材第9页 4: 方程y=x的解集中的元素是什么?用描述法怎么表示?,在学习集合的运算时,例习题中的集合多为列举法表
16、示,可增加一些用描述法表示的集合之间的运算,特别是不等式的解集,可利用数轴求解,复习初中不等式组求解的方法,加强几何直观,促进对新知识的理解。同时训练学生思维的严谨性。 已知集合A=x|x2 ,B=x|xa,且 A B。求a的取值范围。,用Venn图表示集合之间的关系和运算时要全面。 教材P20习题1-2A第 9题,验证了德摩根律 Cu(A B)=Cu(A)UCu(B), Cu(A U B)=Cu(A)Cu(B)。 对习题可有选择地做。,2. 关于“思考与讨论”“探索与研究”的处理,本章出现4个“思考与讨论”和2个“探索与研究”。 “思考与讨论”: 4;7;12;16。 “探索与研究”:14页
17、;元素个数与子集个数的关系; 18页,有限集元素个数之间的关系(容斥原理),(四). 教学建议,1. 从整体上把握教材 集合在高中数学课程定位:“集合语言是现代数学的基本语言。使用集合语言,可以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学只将集合作为一种语言来学习,学生学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,发展运用语言进行交流的能力。” 作为高中数学的基础、工具、语言而设。目的是:对数学的基本概念、基础知识理解得更深刻,表达得更明确,也为学生阅读一般科技读物和进一步学习现代数学、进行数学交流打下一定基础。,与“集合”有联系学过的内容: 日常生活中一类物体; 数自然数、整数、正分数及其部分;
18、数轴上的点集; 量的范围; 平面直角坐标系中的点集; 方程的根; 不等式的解集; 函数的定义域;,与“集合”有联系将要学习的内容: 必修:函数定义域、值域,单调区间、图形、应用中描述等; 必修:点直线;直线包含于平面 等;平面点集的表示;直线、圆及其部分 点集等; 必修:数据分类;直方图、扇面图等; 必修:三角函数周期、零点集、最值点集、 单调区间等;向量与平面点集等; 必修:一元二次不等式解集,目标函数的可 行域,数列,特殊点集等。,2. 教学方法:,3. 教学要求的把握,“集合”是高中课程的第一个内容,它将伴随学生经历从初中到高中学习的过渡;在后续的学习过程中还会用到集合的知识,在应用的过
19、程中可以进一步加深对集合的理解。 所以在本章的教学中要控制难度。,以下题目暂不要求 A=x|x2+4x=0, B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, AB=B, 求a的值 以下三个集合是否相等 A=x|y=x2 B=y|y=x2, C=(x,y)|y=x2,避免以下问题出现: 集合基数(元素个数)的拓展; 幂集 (A)拓展; 一元二次不等式的解法提前; 过多综合其他知识,4. 教学要注意以下问题,应注意与义务教育阶段所学知识的联系。教学中应结合学生的生活经验和已有数学知识,在安排训练时,要把握“度”,不要增加偏题怪题,人为增加难度。 还要注意学生良好学习习惯,如规范书写、课后反思、及时归
20、纳等习惯的培养和训练。 例子要简单、易懂,不要在例子上刻意增加难度。 对知识系统性和严谨性的要求一定要适度,仅要求学生会使用集合语言,不要把集合作为论证的基础,应多结合具体问题学习集合有关知识。,使用数学符号要规范,在以后的学习中,应尽量使用集合为语言。 充分利用Venn图以及数轴来研究集合之间的关系和运算,体会“形”的作用,同时训练学生思维的严谨性(两个集合之间的关系要全面)。 发挥学生的主体作用,引导学生参与学习,但要避免形式化低效的探究。如集合元素的三个特征没必要让学生讨论,通过具体例子并不难理解。,七、新教材实施中应注意的问题,1认真领会课标、教材的精神 数学教育功能的全面性; 正确认
21、识和处理教学中的师生关系,发挥 学生的主体作用、激发学生主动学习; 改进教学方式和学习方式,例如重视教学情景创设,强调学生的自主探究、合作交流; 注重数学与现实的联系,强调数学应用;等。,对于教材改革的指导思想的理解要进一步加深。例如: 教学中,擅自增加内容,提高教学要求,用题海训练代替数学教学,缺乏提高课堂教学质量和效率的办法。,2教学目标的确定要准确、具体、有用,准确:要准确地反映“课标”的要求 具体:要用可操作性语言,对“了解”“理解”“掌握”“灵活应用”等做出具体界定 实用,要阐述清楚经过教学后学生的变化,什么是教学目标,教学目标是教学活动预期达到的结果,是学生通过学习以后预期产生的行
22、为变化。它表现为对学生学习成果及终结行为的具体、明确的描述。,制定课堂教学目标的依据,课程标准 教学内容 学生,教学目标的内容,知识与技能 过程与方法 情感、态度与价值观,存在问题,1.不重视 缺乏认真钻研,表现为简单的抄写教参或别人的 2.不全面 缺少过程与方法 情感态度与价值观 3.虽然项目齐全,但缺乏实效性。如: 过于笼统、空泛 错位 描述上的问题,例如: 培养学生的数学思维能力和科学的思维方式; 培养学生勇于探索、创新的个性品质; 体验数学的魅力,激发爱国主义热情; 等等。,过程与方法目标举例,在推导抛物线方程的过程中,通过分析、比较,体会分类讨论和数形结合的思想,培养观察、比较、概括
23、等数学思维能力。,情感、态度与价值观举例,1、通过了解生活生产中的抛物线实例,体会数学来源于实践又反作用于实践的观点。 2、通过圆锥曲线的统一定义,领悟对立统一和量变到质变的辨证唯物主义观点 3、通过抛物线定义和标准方程的学习,感受数学的简洁、对称与和谐美,如何操作?,全面分析 灵活描述,课堂评价标准的要求,符合课程标准或大纲和学生实际 教学目标应包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面 符合课程标准或大纲的要求,与教学内容相适应 与学生的年龄特征以及认知基础相适应,照顾不同层次学生的差异 可操作的程度 教学目标明确具体 用行为动词描述目标要求 与教学条件相适应,教学目标的制定反映了
24、教师对数学、教材以及学生的理解的整体水平,是教学水平的集中体现。那种“一步到位”的教学目标显然不符合要求,也是教学水平不高的表现。,3教学方法的多样、适切、灵活,多样、灵活:课堂教学中应当根据教学进程的需要,恰当选择和灵活调整教学方法; 适切:教学方法要为学生的数学认知活动服务,适合内容的特点和学生的思维需要。 教学方法改革核心是如何在接受式学习中融入问题解决的成分,使启发式讲授教学与探究式教学有机结合。,选用教学方法的主要依据:教学目标要求、教学内容特点和学生学习特点和教师的特点。 北京基教中心提倡的五种教学方式:讲授法;探究学习;小组合作学习;体验法;信息技术与学科整合。,当前值得重点考虑
25、问题:如何使探究活动真正有成效,如何设法在学生学习中融入问题解决的成分。这就要考虑: 什么样的交流才是真正的数学交流?什么样的探究才是真正的数学探究? 有效的“活动”“探究”“问题解决”等,主要看学生思维的参与度,要让学生真正通过自己实质性的思维活动获取数学知识、方法和数学思想,并逐渐发展数学能力,4教学过程有效、开放、重点突出,有效:通过教学能确保达成教学目标,保证课堂教学的效率和效果。 开放:学生有广阔、独立的数学思维空间,有机会经过自己的独立思考获得对数学知识的理解。 重点突出:教学要抓住数学核心概念和思想方法。,6.情境的创设要有效,强调“生活情境”,人为制造情境,特别是与当前学习任务
26、没有太大关系的情境较多。 有效的教学情境是与当前学习任务相关的、能反映当前学习内容本质的。,提出的问题要有意义、适度、恰时恰点,有意义:问题要反映当前学习内容的本质; 适度:提问要把握好“度”,使学生处于“跳一跳摘果子”的状态; 恰时恰点:要在学生处于思维困惑时提出问题,使问题能够启发和引导学生的数学思维活动。 构建恰时恰点的问题(系列)是有效教学的基本线索,“问题引导学习”应是教学的一条基本原则,6.注意初高中的衔接,主要问题: (1)初中内容的不适当删减、降低要求,导致学生“双基”无法达到高中教学要求; (2)初中不适当地“抢戏”,导致“夹生饭”、“注入式”教学(学生思维能力达不到要求);
27、 (3)高中不顾学生的基础,任意拔高教学要求,繁琐的、高难度的运算充斥课堂。,初高中不衔接内容举例,删除的内容 1立方和公式与立方差公式 2因式分解中的十字相乘法、分组分解法 3含有字母的方程 4三元一次方程组 5根式的分母有理化、最简根式 , 根式化简 6画频率分布直方图,7可化为一元二次方程的分式方程 ( 只要求化为一元一次方程的分式方程 ), 分式乘方 8无理方程 9高次方程 10二元二次方程组 11一元二次不等式 12一元二次方程根的判别式 13韦达定理 14换元法,15平行线等分线段定理,平行的传递性 16平行线分线段成比例定理,梯形中位线(教材中有但中考不考) 17截三角形两边或延
28、长线的直线平行于第三边的判定定理 18空间直线、平面的位置关系 19圆内接四边形的性质 20轨迹定义 21圆的有关定理:垂径定理及逆定理,弦切角定理,相交弦定理,切割弦定理,两圆连心线性质定理,两圆公切线性质定理 22相切作图,正多边形的有关计算,等分圆周,三角形的内切圆 23三角函数中的同角三角函数的基本关系式,降低要求的内容,1有理数混合运算强调最多三步,学生习惯性使用计算器,笔算、口算、心算能力弱; 2多项式相乘仅要求一次式相乘,无除法; 3因式分解只要求提取公因式法、公式法(平方差、完全平方),直接用公式法不超过两次; 4根式的运算要求低;,5绝对值符号内不能含有字母; 6配方法要求低
29、,只在解一元二次方程中有简单的要求,而在二次函数中也不要求用配方法,求顶点、最值,只要求用公式求,且又不要求记忆公式和推导(中考试卷中会给出公式); 7几何中大大减少定理的数量,删除繁难的几何证明,淡化几何证明的技巧; 8反证法,初中只要求通过实例,体会反证法的含义,了解即可; 9辅助线,中考只要求添加一条辅助线。,7.有克服困难的心理准备,课时紧张 模块达标和高考的关系 信息技术的使用 习题的处理,八、课堂教学的几个关键,1. 三个基本点 理解数学对数学的思想、方法及其精神的理解; 理解学生对学生数学学习规律的理解,核心是理解学生的数学思维规律; 理解教学对数学教学规律、特点的理解。,2.两个关键 提好的问题在学生思维最近发展区内,有意义; 设计自然的过程数学知识发生发展的原过程(再创造),学生对数学知识的认识过程。,3.一个核心 概括引导学生自己概括出典型实例的共同本质特征 强调学生实质的、高水平的思维参与度,使学生在教学过程中保持高水平的数学思维活动,课堂教学的“六字经”,问题引导学习 教学重心前移 典型丰富例证 提供概括时机 保证思考力度 加强思想联系 使用变式训练 强调反思迁移,
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