一章行列式.ppt
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1、第一章 行列式,一. 二(三)阶行列式,二. 排列与逆序,三. n 阶行列式的定义,四. 行列式的性质,五. 行列式按一行(列)展开,六. Cramer 法则,行列式概念的形成,行列式的基本性质及计算方法,(定义),利用行列式求解线性方程组,本章主要讨论以上三个问题。,首先来看行列式概念的形成,问题的提出:,求解二、三元线性方程组,二阶、三阶行列式,引出,一. 二阶与三阶行列式,1. 二阶行列式,二元线性方程组:,由消元法,得,得,同理,得,于是,当,时,方程组有唯一解,为便于记忆,引进记号,称记号,为二阶行列式,其中 ,数,称为元素,为行标,表明元素位于第 行,为列标,表明元素位于第 列,注
2、:,(1) 二阶行列式 算出来是一个数。,(2) 记忆方法:对角线法则,主对角线上两元素之积 副对角线上两元素之积,因此,上述二元线性方程组的解可表示为,综上,令,则,,称 D 为方程组的系数行列式。,例1:,解方程组,解:,因为,所以,2. 三阶行列式,类似地,为讨论三元线性方程组,引进记号,称之为三阶行列式,其中 ,数,称为元素,为行标,,为列标。,注:,(1) 三阶行列式 算出来也是一个数。,(2) 记忆方法:对角线法则,例:,对于三元线性方程组,若其系数行列式,可以验证,方程组有唯一解,,其中,,课堂练习:,P31 1.1 1.2,二. 排列与逆序,定义1:,由自然数1,2,n 组成的
3、一个有序数组 称为一个n 元排列。,例如:,1,2,3,4,5,5,1,2,3,4,5,3,2,1,4,都是数1,2,3,4,5的一个排列。,考虑:n个数的不同排列有 个。,n !,自然排列:,按数的大小次序,由小到大排列。,考虑:,n元排列中,自然排列只有一种,除此之外,任一n元排列都一定出现较大数码 排在较小数码之前的情况。,定义2:,在一个排列中,若某个较大的数排在某个较小的 数前面,就称这两个数构成一个逆序。,一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的,奇排列:,逆序数为奇数的排列。,偶排列:,逆序数为偶数的排列。,逆序数,计算排列的逆序数的方法:,法1:,n个数的任一n元排列,先看数1
4、,看有多少个比1大的数 排在1前面,记为,再看有多少个比2大的数排在2前面,记为,继续下去,最后至数n,前面比n大的数显然没有,,则此排列的逆序数为,法2:,n 元排列,的逆序数,法3:,例1:,求排列 3,2,5,1,4 的逆序数。,解:,(法1),(法2),(法3),例2:,求排列 4,5,3,1,6,2 的逆序数。,课堂练习:,p32 1.3,加,(7) 1,3,2n1,2,4,2n,(8) 1,3,2n1,2n,2n2,4,2,思考 p32 1.4,考虑,在 1,2,3 的全排列中,有 个偶排列:,有 个奇排列:,123,231,312,132,213,321,3,3,一般说来,在n个
5、数码的全排列中,奇偶排列各占一半,定义3:,把一个排列中的任意两个数交换位置,其余数码 不动,叫做对该排列作一次对换,简称对换。,将相邻的两个数对换,称为相邻对换。,定理1:,对换改变排列的奇偶性。,(书p10定理1.2.1),证明思路:,先证相邻变换,再证一般对换。,定理2:,时,n个数的所有排列中,奇偶排列各占,一半,各为,个。,(书p11定理1.2.2),证明:,设n个数的排列中,,奇排列有 p 个,偶排列有 q 个,,则 pqn!,对 p 个奇排列,施行同一对换,,则由定理1得到 p 个偶排列。(而且是p个不同的偶排列),因为总共有 q 个偶排列,所以,同理,所以,三. n阶行列式的定
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