信号与系统教案第3章.ppt
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1、第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应 一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应 3.2 单位序列响应和阶跃响应 一、单位序列响应 二、阶跃响应 3.3 卷积和 一、序列分解与卷积和 二、卷积的图解 三、不进位乘法 四、卷积和的性质,点击目录 ,进入相关章节,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应,一、差分与差分方程,设有序列f(k),则,f(k+2),f(k+1),f(k-1),f(k-2)等称为f(k)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算,定义离散信号的差分运算。,1. 差分运算,离散信号的变化率有两种表示形式:,3.1 LT
2、I离散系统的响应,(1)一阶前向差分定义:f(k) = f(k+1) f(k) (2)一阶后向差分定义:f(k) = f(k) f(k 1) 式中,和称为差分算子,无原则区别。本书主要用后向差分,简称为差分。 (3)差分的线性性质: af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) (4)二阶差分定义: 2f(k) = f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1) = f(k)f(k-1) f(k-1) f(k-2)= f(k) 2 f(k-1) +f(k-2) (5) m阶差分: mf(k) = f(k) + b1f(k-1) + bmf(k-m),
3、因此,可定义:,3.1 LTI离散系统的响应,2. 差分方程,包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列,得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m),差分方程本质上是递推的代数方程,若已知初始条件和激励,利用迭代法可求得其数值解。 例:若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k)。 解: y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) y(2)= 3y(1) 2y(0
4、) + f(2) = 2 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 一般不易得到解析形式的(闭合)解。,3.1 LTI离散系统的响应,二、差分方程的经典解,y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m),与微分方程经典解类似,y(k) = yh(k) + yp(k),1. 齐次解yh(k),齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0 其特征方程为 1 + an-1 1 + + a0 n = 0 ,即 n + an-1n 1 + + a0 = 0 其根i( i = 1,2,n)称为差分方程的特征
5、根。 齐次解的形式取决于特征根。 当特征根为单根时,齐次解yn(k)形式为: Ck 当特征根为r重根时,齐次解yn(k)形式为: (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+ C1k+C0)k,3.1 LTI离散系统的响应,2. 特解yp(k): 特解的形式与激励的形式雷同(r1) 。,(1) 激励f(k)=km (m0) 所有特征根均不等于1时; yp(k)=Pmkm+P1k+P0 有r重等于1的特征根时; yp(k)=krPmkm+P1k+P0 (2) 激励f(k)=ak 当a不等于特征根时; yp(k)=Pak 当a是r重特征根时; yp(k)=(Prkr+Pr-1kr-1+P1k+P0)a
6、k (3)激励f(k)=cos(k)或sin(k) 且所有特征根均不等于ej ; yp(k)=Pcos(k)+Qsin(k),例:若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)= 1;激励f(k)=2k,k0。求方程的全解。,解: 特征方程为 2 + 4+ 4=0 可解得特征根1=2= 2,其齐次解 yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k 特解为 yp(k)=P (2)k , k0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k , 解得 P=1/4 所以得特解: yp(k)=2
7、k2 , k0 故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) ( 2)k + 2k2 , k0 代入初始条件解得 C1=1 , C2= 1/4,3.1 LTI离散系统的响应,3.1 LTI离散系统的响应,三、零输入响应和零状态响应,y(k) = yx(k) + yf(k) , 也可以分别用经典法求解。 y(j) = yx(j) + yf(j) , j = 0, 1 , 2, , n 1 设激励f(k)在k=0时接入系统, 通常以y(1), y(2) , ,y(n)描述系统的初始状态。 yf(1) = yf(2) = = yf(n) = 0 所以 y(1)= yx(1) , y(2)
8、= yx(2),,y(n)= yx(n) 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值yx(j)和yf(j) ( j = 0, 1, 2 , ,n 1),3.1 LTI离散系统的响应,例:若描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k0,初始状态y(1)=0, y(2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,解:(1)yx(k)满足方程 yx(k) + 3yx(k 1)+ 2yx(k 2)= 0 其初始状态yx(1)= y(1)= 0, yx(2) = y(2) = 1/2 首先递推求出初始值y
9、x(0), yx(1), yx(k)= 3yx(k 1) 2yx(k 2) yx(0)= 3yx(1) 2yx(2)= 1 , yx(1)= 3yx(0) 2yx(1)=3 方程的特征根为1= 1 ,2= 2 , 其解为 yx(k)=Cx1( 1)k+Cx2(2)k 将初始值代入 并解得 Cx1=1 , Cx2= 2 所以 yx(k)=( 1)k 2( 2)k , k0,3.1 LTI离散系统的响应,yf(k) + 3yf(k 1) + 2yf(k 2) = f(k) 初始状态yf(1)= yf(2) = 0 递推求初始值 yf(0), yf(1), yf(k) = 3yf(k 1) 2yf(
10、k 2) + 2k , k0 yf(0) = 3yf(1) 2yf(2) + 1 = 1 yf(1) = 3yf(0) 2yf(1) + 2 = 1 分别求出齐次解和特解,得 yf(k) = Cf1(1)k + Cf2(2)k + yp(k) = Cf1( 1)k + Cf2( 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Cf1= 1/3 , Cf2=1 所以 yf(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2k , k0,(2)零状态响应yf(k) 满足,3.2 单位序列响应和阶跃响应,3.2 单位序列响应和阶跃响应,一、单位序列响应,由单位序列(k)所引起的零状态响应称为单位序列
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