有限元三分析及工程应用-2016第八章.ppt
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1、有限元基本理论及应用,第八章机械动力学的有限元分析,结构动力学问题是研究结构受动力载荷或基础运动作用产生的动力响应。,结构的振动分析涉及到模态分析、瞬态动力学分析、简谐响应分析、随机分析等方面,其中结构的模态分析(有频率和振型)是所有振动分析的基础。,弹簧质量系统,动能,势能,矩阵表示式,代入,8.1动力学方程,所有的变量都将是时间的函数:,(1)基本方程,达朗贝尔原理(DAlembert principle)将惯性力和阻尼力等效到静力平衡方程中有:,8.1动力学方程,(1)基本方程,分别表示结构在初始时刻时的位移和速度状态。,平衡方程及力边界条件的等效积分形式:,右端的第一项进行分部积分,经
2、整理后有:,动力学问题的虚位移方程或虚功原理。,(2)有限元分析形式,单元节点的位移列阵可表述为:,8.1动力学方程,(2)有限元分析形式,单元内的位移插值函数为:,将相关的物理量表示为节点位移的关系为:,上式消去微小项后,有,代入,8.1动力学方程,(2)有限元分析形式,将单元的各个矩阵进行装配,可形成系统的整体有限元方程:,1) 静力学情形 由于与时间无关,式退化为:,结构静力分析的整体刚度方程,2) 无阻尼情形,3) 无阻尼自由振动,振动形式叫做自由振动,该方程解的形式为:,简谐振动的形式,8.1动力学方程,(2)有限元分析形式,代入,方程有非零解的条件是,或,特征方程,代入,8.1动力
3、学方程,(2)有限元分析形式,或,为了保证解的唯一性,通常要对特征向量进行规范化处理:,8.1动力学方程,(3)常用单元的质量矩阵,1)杆单元,一致质量矩阵,一致质量矩阵:由形状函数矩阵推导出来的质量矩阵。 “一致”是指推导质量矩阵时所使用的形状函数矩阵与推导刚度矩阵时所使用的形状函数矩阵相“一致”。,对称正定矩阵,集中质量矩阵,将一致质量矩阵中各行(或各行)的元素相加后直接放在对角元素上。,对应于各个自由度的质量系数相互独立,相互之间无耦合。,8.1动力学方程,(3)常用单元的质量矩阵,2)梁单元,一致质量矩阵,集中质量矩阵,3)平面3节点三角形单元,一致质量矩阵,8.1动力学方程,(3)常
4、用单元的质量矩阵,3)平面3节点三角形单元,集中质量矩阵,4)平面4节点矩形单元,一致质量矩阵,集中质量矩阵,8.1动力学方程,(4)阻尼矩阵的计算,粘性阻尼:一种是由结构周围粘性介质产生的阻尼。阻尼力一般近似认为与运动速度成正比。 结构阻尼或材料阻尼:由结构材料内部分子间摩擦产生的阻尼。阻尼应力一般近似地认为与弹性体的应变速率成正比。,假定阻尼力与运动速度成正比,那么在运动弹性体中任意点处单位体积上作用的阻尼力为:,或,单元阻尼矩阵,8.1动力学方程,(4)阻尼矩阵的计算,假定阻尼应力与弹性体的应变速率成正比,则阻尼应力可表示为:,阻尼应力的单元等效节点阻尼矢量为,单元阻尼矩阵,从结构的总体
5、上考虑阻尼的影响,近似地估计阻尼力作功所消耗的能量。,8.2 结构动力响应的有限元分析,系统的动力方程式,振型法:首先利用自然振动的模态矩阵对无阻尼系统、阻尼系统的动力学方程进行解耦处理,以得到各自独立的动力学方程,然后分别进行求解,可以是数值求解,也可以解析求解。 直接积分法:就是直接将动力学方程对时间进行分段数值离散,然后计算每一时该的位移数值,这一过程实际上是将时间的积分区间进行离散化,因此叫做积分算法。 关于时间的格式有显式和隐式,具体地,有中心差分格式的显式算法和基于Newmark方法的隐式算法。,(1)无阻尼系统的解耦合方程,一个无阻尼系统,其有限元方程的一般形式为:,首先求解相应
6、的无外载状态下的自由振动方程,即,8.2 结构动力响应的有限元分析,(1)无阻尼系统的解耦合方程,(n阶单位矩阵),8.2 结构动力响应的有限元分析,(1)无阻尼系统的解耦合方程,代入,针对,8.2 结构动力响应的有限元分析,(1)无阻尼系统的解耦合方程,代入,代表一系列的n个解耦方程(相互独立的方程),方程为二阶微分方程,即,8.2 结构动力响应的有限元分析,(1)无阻尼系统的解耦合方程,(2)阻尼系统的解耦合方程,一个阻尼系统,有限元方程,代入,8.2 结构动力响应的有限元分析,(2)阻尼系统的解耦合方程,单独的解耦方程:,先求齐次方程的齐次解,然后再求它的一组特解。,8.2 结构动力响应
7、的有限元分析,(2)阻尼系统的解耦合方程,小阻尼情形,齐次方程的解可表示为:,齐次方程的解可表示为,大阻尼情形,齐次方程的解可表示为:,8.2 结构动力响应的有限元分析,(2)阻尼系统的解耦合方程,(3)直接积分的显式算法,显式算法:由上一时刻的已知计算值来直接递推下步的结果。在给定的时间离散步中,可以逐步求出各个时间离散点的值。,t时刻的动力学方程,8.2 结构动力响应的有限元分析,(3)直接积分的显式算法,初始条件获得,结构系统的最小固有振动周期,8.2 结构动力响应的有限元分析,(4)直接积分的隐式算法,Newmark方法是应用最为广泛的一种隐式算法,是线加速度法的一种推广,8.2 结构
8、动力响应的有限元分析,(4)直接积分的隐式算法,代入,代入,其中,8.3 ANSYS软件的动力学分析,(1)模态分析,主要用于确定设计结构或机械部件的振动特性,即结构的固有频率和振型,它们是承受动态载荷结构设计中的主要参数。 线性分析,可分为有预应力的模态分析和循环对称结构模态分析。 模态提取方法:分块Lanczos法、Supernode、 PCG Lanczos、缩减法、非对称法、阻尼法和QR阻尼法等。,1)建立模型 1. 模态分析是一个线性分析,即使采用了非线性单元,系统也将其作为线性处理。 2. 材料的属性可以是线性的、各向同性或各向异性、常数或与温度相关的数值,但必须要定义弹性模量和密
9、度,系统将忽视其它非线性特性。 3. 如果使用了阻尼单元,对指定的单元如Combin14、Conbin37等要输入所需的实常数。,8.3 ANSYS软件的动力学分析,(1)模态分析,2)求解分析 在进入求解器后,首先将分析类型设定为模态分析(Modal)、指定模态提取的阶次与方法、设置模态扩展的阶次。 如果对于某些特殊的模态分析,还需要指定质量矩阵的形式、预应力效应计算以及控制结果文件的输出等。 1. 分块Lanczos法:可用于大的对称特征值问题,其提取的振型大约为40个,并使用稀疏矩阵求解器,可覆盖任何指定的求解器。 对于由壳单元或壳单元与实体单元组合的模型,具有好的求解精度,也非常适合于
10、具有形状不好的实体单元和壳单元模型,但该方法需要大的硬盘空间。 2. PCG Lanczos:可用于非常大的对称特征值问题(500000自由度),其提限的振型大于100个,并使用PCG迭代求解器。,8.3 ANSYS软件的动力学分析,(1)模态分析,2)求解分析,3. Supernode:可用于求解一个问题中的许多振型(如大于10000),如果振型个数大于200,则该方法要比分块Lanczos法求解快,其求解精度也可以通过SNOPTION命令来控制。可用于2维平面或壳/梁结构、3维实体结构等。 4. 缩减法:由于使用了缩减系统矩阵来计算,其求解速度要快于分块Lanczos法,但共求解精度要低一
11、些。 5. 非对称法:适用于具有非对称性矩阵的问题,如流体结构的界面问题等。 6. 阻尼法:适用于存在有阻尼的问题,如轴承问题。 7. QR阻尼法:与阻尼法相比,具有更快更好的计算效率,它在模态坐标系内使用缩减的模态阻尼矩阵来计算复杂的阻尼频率。,大多数问题可使用分块Lanczos法、Supernode、 PCG Lanczos、缩减法。,8.3 ANSYS软件的动力学分析,(1)模态分析,2)求解分析,除了缩减法以外,必须还要指定提取模态的个数。如果还需要完成模态叠加分析,则必须要扩展所有提取模态的振型和计算单元结果。 大多数情况,建议使用缺省的质量矩阵形成方式(依赖于所选取的单元类型),但
12、对于包含“薄膜”结构,如细长梁或非常薄的壳,采用集中质量矩阵可以获得较好的计算结果。 如果要在模态分析时包含预应力效应,则系统内必须存在有静力学分析或瞬态分析分析中生成的单元文件,而在缺省时是不包含预应力效应的。 同时如果预应力效应打开,则在当前和随后的分析中,集中质量矩阵的设置必须要与静力学分析时的一致。 如果采用缩减法来提取模态,则必须指定主自由度(MDOF)。主自由度是指能描述结构动力学特性的“重要的”自由度。,8.3 ANSYS软件的动力学分析,(1)模态分析,2)求解分析,其选择规则是至少要选取所提取模态阶数的一倍数目的主自由度,建议根据对结构动力学特性的了解,尽量指定多的主自由度,
13、同时让系统按照刚度/质量比选取一些附加的主自由度。,在典型模态分析中,唯一有效的边界条件是零位移约束,其它如非零位移约束、力、压力、温度、加速度等都将在模态提取时被忽略。 但系统会计算出相应于所加载荷的载荷向量,并将这些载荷向量写入振型文件,以便于模态叠加法谐响应分析或瞬态分析时使用。 在模态分析中唯一可用的载荷选项是阻尼选项。阻尼只在有阻尼的模态提取法中作用,如果模态分析中存在有阻尼且使用阻尼模态法,那么计算出的特征值是复数解。,8.3 ANSYS软件的动力学分析,(1)模态分析,3)输出结果,缺省结果就是固有频率,如果在模态分析前进行了模态扩展,则在后处理器,就可以以动画方式来查看每个固有
14、频率所对应的振型。 如果在模态分析计算前对单元计算进行了设置,则在结果输出时,也可以看到单元和节点的相对应力和力的分布。,4)循环对称结构的模态分析 如果结构呈现出循环对称特性如齿轮、叶轮等,则只要通过对它的一部分建模来计算结构整体的固有频率和振型, 循环对称结构用于建模的部分称为基本扇区,正确的扇区是若在全局柱坐标空间将其重复n次,即可生成整个模型。 在建立模型时,基本扇区两侧面可以是任意形状,但必须具有相对应的节点,且对应节点相隔的几何角度为扇区角。,8.3 ANSYS软件的动力学分析,(2)谐响应分析,用于确定线性结构在承受随时间按正弦(简谐)规律变化的载荷时的稳态响应技术,其目的是计算
15、出结构在某种频率下的响应并得到一些响应值(一般是位移)对频率的曲线。,从这些曲线上可以找到“峰值”响应,并进一步发生在激励开始时的瞬态振动。,是一种线性分析,任何非线性特性都将被忽略,同时在分析过程中必须要指定材料的弹性模量和密度。,1)分析方法 完全法(Full)、缩减法(Reduced)、模态叠加法(Mode Superposition)。,完全法 最容易的一种方法,它采用完整的系统矩阵来计算谐响应分析,矩阵可以对称或非对称。,8.3 ANSYS软件的动力学分析,(2)谐响应分析,优点: 1. 最容易使用,不需要担心改变了振型的主自由度。 2. 使用完整矩阵,不涉及质量矩阵的近似。 3.
16、允许非对称矩阵,这种矩阵常出现在声学和轴承问题中。 4. 在单一处理过程中,计算所有的位移和应力。 5. 它能施加所有的载荷类型,如节点力、施加位移(也可以是非零值)和单元载荷。 6. 允许使用实体模型载荷。 缺点:在使用稀疏矩阵求解器,其计算成本要高于其它方法,但当使用JCG或ICCG求解器时,对某些3维工况其效率也很高。,缩减法 通过使用主自由度和缩减矩阵方式来压缩问题的规模,当计算出主自由度的位移后,求解结果能够扩展到原来所有的自由度上,8.3 ANSYS软件的动力学分析,(2)谐响应分析,优点: 当在使用稀疏求解器时,比完全法的计算要快且成本低; 能包含预应力效应。 缺点: 1. 初始
17、解仅计算出主自由度上的位移,然后通过扩展处理才 能得到一个完整的位移、应力和力的结果,当然扩展处理也许是某些应用的选项; 2. 不能够施加单元载荷如压力、温度等; 3. 所有的载荷都必须施加到用户指定的主自由度上,从而也就限制了在实体模型上施加载荷。,模态叠加法 通过对模态分析所得振型乘以因子再叠加的方式来计算结构的响应 优点:,8.3 ANSYS软件的动力学分析,(2)谐响应分析,1.对大多数问题来说,它都比前2种方法要快且成本低; 2.在其前面完成模态分析的单元载荷,可通过命令“LVSCALE”施加到谐响应分析中; 3.能够使解按固有频率聚集,从而可以得到更平滑、更精确的响应曲线图; 4.
18、包含预应力效应; 5.允许考虑模态的阻尼,其中阻尼为频率的函数。 缺点:不能施加非零位移。,3种方法在使用上也有它们的局限性,即: 1. 所有的载荷类型必须按正弦规律变化; 2. 所有的载荷必须有相同的频率; 3.不考虑非线性特性; 4. 也不计算瞬态效应。,8.3 ANSYS软件的动力学分析,(2)谐响应分析,2)分析过程和步骤,谐响应的分析过程与步骤主要包括:建模;加载并求解;输出结果。 建模 在谐响应分析中,只有线性行为是有效的,任何非线性特性都将被忽略; 必须输入弹性模量和密度,材料特性可以是线性的、各向同性或各向异性、恒定的或与温度相关的,非线性材料将被忽略。 对于一个完全的谐响应分
19、析,可以指定依赖于频率的弹 性材料特性、指定阻尼系数。 加载并求解 由于峰值响应发生在力的频率和结构的固有频率相等时,因此在谐响应分析求解之前,必须要完成一次模态分析,以确定结构的固有频率。,8.3 ANSYS软件的动力学分析,(2)谐响应分析,2)分析过程和步骤,谐响应的加载与求解主要包括指定分析类型及相关的选项、施加载荷以及指定载荷步选项等。,1. 在分析类型设置中,谐响应分析不能使用“Restarts”,必要时可以开始一个新的分析。 2. 可选的求解器有:稀疏求解器、JCG求解器、ICCG求解器。 3. 谐响应分析不能计算频率不同的多个强制载荷同时作用时的响应。但可以分成多个载荷进行分析
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- 有限元 分析 工程 应用 2016 第八
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