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1、量纲分析与相似原理,第 九 章,9.1 量纲和谐原理,量纲的概念,什么是量纲,什么是单位,二者之间有什么区别和联系?,答:量纲是表示各种物理量的类别;单位是度量各种物理量数值大小的标准。单位和量纲都是关于度量的概念,单位决定量度的数量,而量纲则指量度的性质。,基本量纲与导出量纲,基本量纲:无任何联系、相互独立的量纲。 导出量纲:可以由基本量纲导出的量纲。,基本量纲:质量M、长度L、时间T。 导出量纲:其他物理量量纲。,无量纲量,无量纲量:可以由两个具有相同量纲的物理量相 比得到,也可以由几个有量纲物理量 乘除组合,使组合量的各基本量纲指 数为零得到。,量纲和谐原理,凡是正确反映客观规律的物理方
2、程,其方程各项的量纲都必须是一致的,这被之为量纲和谐性原理。但是在曼宁公式 中,谢齐系数C的量纲为 ,R的量纲为L,n为无量纲量,很明显量纲是不和谐的,所以可能有人认为量纲和谐性原理是错误的,你是如何认识这个问题的,并阐述你的理由。,解:量纲和谐性原理是以被无数事实证明的客观真理。因为只有两个同类型的物理量才能相加减,否则没有物理意义的。而一些经验公式是在没有理论分析的情况下,根据部分实验资料或实测数据统计而得,这类公式经常是量纲是不和谐的。这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分,只能用不完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式随着人们对流体本质的深刻认识,将逐步被修正或被正确完整的公
3、式所替代。,9.2 量纲分析法,瑞利法(物理量不超过4个),试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量q 的表达式。已知q 与堰顶水头H、水的密度和重力加速度g 有关。,1. 分析影响因素,列出函数方程,解:,根据题意可知,溢流堰过流时单宽流量q 与堰顶水头H、水的密度和重力加速度g 有关,用函数关系式表示为,解题步骤,2. 将q写成H,g的指数乘积形式,即,3. 写出量纲表达式,解题步骤,4. 选M、L、T作为基本量纲,表示各物理量的量纲为,5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数,M:0=b L:2=a-3b+c T:-1=-2c,a=3/2 b=0 c=1/2,6. 代入指数乘积式,得,其中,k1为无
4、量纲系数,即流量系数m0,由实验来确定。,解题步骤,即,题 目,求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出功率N 与单位体积水的重量 、流量Q、扬程H有关。,1. 分析影响因素,列出函数方程,解:,根据题意可知,水泵的输出功率N 与单位体积水的重量 、流量Q、扬程H 有关,用函数关系式表示为,解题步骤,2. 将N写成 ,Q,H的指数乘积形式,即,3. 写出量纲表达式,解题步骤,4. 选L、T、M作为基本量纲,表示各物理量的量纲为,5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数,L:2=-2a+3b+c T:-3=-2a-b M:1=a,a=1 b=1 c=1,6. 代入指数乘积式,得,其中,k为无量纲系数,通
5、过实验来确定。,解题步骤,定理,简述布金汉定理的运用步骤?,答:1.确定关系式。根据对所研究现象的认识,确定影响这个现象的各个物理量及其关系式。,2.确定基本物理量。从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量纲的代表,一般取m=3。使基本量纲的行列式不等于零,即保障基本无论量相互独立。,3. 确定基本物理量依次与其余物理量组成的表达式。,解题步骤,4. 满足为无量纲相,由量纲和谐性原理定出各项基本物理量的指数a、b、c。,5. 写出描述现象的关系式。,题 目,在用布金汉定理时,要选取3个相互基本物理量,如何合理的选择这3个基本物理量呢?,答:(1)基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量
6、纲选(M,L,T)为三个,那么基本物理量也选择三个;倘若基本量纲只出现两个,则基本物理量同样只须选择两个。 (2)选择基本物理量时,应选择重要的物理量。换句话说,不要选择次要的物理量作为基本物理量,否则次要的物理量在大多数项中出现,往往使问题复杂化,甚至要重新求解。 (3)为保证三个基本物理量相互独立,其量纲的指数行列式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、动力学量中各选一个,即可满足要求。,题 目,文丘里流量计是用来测量有压管路的流量,如右图所示,已知1-1断面和2-2断面之间的压强差p随流量Q,流体密度,液体粘度 以及大小直径D1,D2变化。试用定律求出的压强降落p表示的流量公
7、式。,文丘里流量计,1. 分析影响因素,列出函数方程,解:,根据题意可知,压强差p与通过的流量Q,流体的密度,液体的粘度 以及大小直径D1,D2有关,用函数关系式表示为:,可以看出函数中的变量个数 n6,解题步骤,解题步骤,选取三个基本物理量,它们分别是几何学量D1,运动学量Q以及动力学量 。,2. 选取基本物理量,量纲指数行列式,由量纲公式:,故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。,解题步骤,3. 列出无量纲值,列出 个无量纲的值。,其中 为待定指数。,4. 根据量纲和谐性原理,确定各 项的指数,对于1,其量纲式为:,所以:,解题步骤,解题步骤,对于2,其量纲式为:,对于3 ,其量纲式为:
8、,解题步骤,5. 写出无量纲量方程,上式中的数可根据需要取其倒数,而不会改变它的无量纲性质。即:,对于同一个问题,用两种不同的量纲分析法得到的结果完全相同。一般,瑞利法适用于比较简单的问题,相关变量未知数n45个,而布金汉定理是具有普遍性的方法。,9.3 相似理论基础,模型,模型:通常指与原型(工程实物)有同样的运动规律 ,各运动参数存在固定比例关系的缩小物。 作用:通过模型试验,把研究结果换算为原型流动,进而预测在原型流动中将要发生的现象。,力学相似,何为模型试验的力学相似,它包括哪几个方面的内容?,答:所谓的力学相似是指原型流动和模型流动在对 应物理量(指矢量物理量,如力、加速度等) 之间
9、应互相平行,并保持一定的比例关系(指 矢量与标量物理量的数值,如力的数值、时间 与压强的数值等)。,力学相似,流体力学相似包括以下四个方面: 1. 几何相似 2. 运动相似 3. 动力相似 4.初始条件和边界条件相似,几何相似,定义:指两个流动(原型和模型)流场的几何形状相 似,即相应的线段长度成比例,夹角相等。,几何相似,运动相似,定义:指两个流动(原型和模型)相应点速度方向相 同,大小成比例。,运动相似,动力相似,定义:指两个流动(原型和模型)相应点质点受同名 力的作用,且力的方向相同,大小成比例。,边界条件和初始条件相似,边界条件相似:指两个流动(原型和模型)相应边界 性质相同。 初始条
10、件相似:指两个流动(原型和模型)相应初始 性质相同。 流体力学相似简化为: 几何相似、运动相似、动力相似三个方面。,雷诺准则,模型和原型试验的雷诺数相等。,雷诺数表示惯性力与粘滞力之比,两流动相应的雷诺数相等,粘滞力相似。,弗劳德数准则,模型和原型试验的弗劳德数相等。,弗劳德数表示惯性力与重力之比,两流动相应的弗劳德数相等,重力相似。,欧拉准则,模型和原型试验的欧拉数相等。,欧拉数表示压力与惯性力之比,两流动相应的欧拉数相等,压力相似。,9.4 模型试验,原型和模型能否同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则?为什么?,答:当采用同一种流体,不可能同时满足两种相似。 因为:当重力相似时,而粘滞力相
11、似时,可知速度比尺不同,也即不能同时满足两种相似。,模型准则选择,若采用不同流体时,在理论上是可能的。因为:当重力相似时,而粘滞力相似时,联立以上两式,可得当时 ,能够同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则,但是在实际中是不可能的。,模型试验做到完全相似是困难的,一般只能达到近似相似,就是保证对流动起主要作用的力相似。 有压管流,粘滞力起主要作用,应按雷诺准则设计模型。 在堰流、闸孔出流、明渠流动中,重力起主要作用,应按弗劳德准则设计模型。,模型准则选择,雷诺准则:,模型设计,弗劳德准则:,模型设计,流量比:,模型设计,雷诺准则模型:,弗劳德准则模型:,相似理论的应用,题 目,有一直径d=50cm的输油管道,管道长l=200m,油的运动粘滞系数 ,管中通过油的流量 。现用10的水和管径dm= 5 cm的管路进行模型试验,试求模型管道的长度和通过的流量。,解:该管道模型的几何比尺为,解题步骤,所以模型管道的长度,判别原型管道中的流态:,解题步骤,所以管内流动为层流,应该按照粘滞力相似准则(雷诺相似准则)计算模型中流量Qm 。,故模型管道中的流量Qm 应为0.01m/s。,本章历年考题,2010年7月,2010年10月,2012年10月,2010年10月,2012年10月,
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