2018版高中数学第三章导数及其应用章末分层突破学案新人教A版选修1_120170719292.doc
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1、第三章 导数及其应用自我校对斜率yf(x0)f(x0)(xx0)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)导数的几何意义利用导数的几何意义求切线方程时,关键是搞清所给的点是不是切点,常见类型有两种:(1)函数yf(x)“在点xx0处的切线方程”,这种类型中(x0,f(x0)是曲线上的点,其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).(2)函数yf(x)“过某点的切线方程”,这种类型中,该点不一定是切点,可先设切点Q(x1,y1),则切线斜率为f(x1),再由切线过点P(x0,y0)得斜率为,又由y1f(x1),由上面两个方程可得切点(x1,y1),即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.
2、已知函数f(x)ax33x26ax11,g(x)3x26x12,直线m:ykx9,且f(1)0.(1)求a的值;(2)是否存在实数k,使直线m既是曲线yf(x)的切线,又是yg(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由.【精彩点拨】(1)(2)【规范解答】(1)因为f(x)3ax26x6a,且f(1)0,所以3a66a0,得a2.(2)因为直线m过定点(0,9),先求过点(0,9),且与曲线yg(x)相切的直线方程.设切点为(x0,3x6x012),又因为g(x0)6x06.所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0).将点(0,9)代入,得93x6x0126x6x0
3、,所以3x30,得x01.当x01时,g(1)12,切点坐标为(1,21),所以切线方程为y12x9;当x01时,g(1)0,切点坐标为(1,9),所以切线方程为y9.下面求曲线yf(x)的斜率为12和0的切线方程:因为f(x)2x33x212x11,所以f(x)6x26x12.由f(x)12,得6x26x1212,解得x0或x1.当x0时,f(0)11,此时切线方程为y12x11;当x1时,f(1)2,此时切线方程为y12x10.所以y12x9不是公切线.由f(x)0,得6x26x120,解得x1或x2.当x1时,f(1)18,此时切线方程为y18;当x2时,f(2)9,此时切线方程为y9,
4、所以y9是公切线.综上所述,当k0时,y9是两曲线的公切线.此题直线m恒过点(0,9)是解题的突破口,即若m是f(x),g(x)的公切线,则切线必过点(0,9).一般说来,求过定点的两曲线公切线的一般思路是:先求出过定点的一曲线的切线方程,再令斜率值与另一曲线的导数相等,求出可能的切点,得出对应切线方程.若两条直线方程相同,则为公切线;若不同,则不存在公切线.当然,也可能会存在切线斜率不存在的情况.再练一题1.已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2,6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线yf(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线yf(x)的某一切
5、线与直线yx3垂直,求切点坐标与切线的方程. 【导学号:97792054】【解】(1)可判定点(2,6)在曲线yf(x)上.f(x)(x3x16)3x21,f(x)在点(2,6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y(6)13(x2),即y13x32.(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f(x0)3x1,直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0),0(3x1)(x0)xx016,整理得,x8,x02.y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直线l的方程为y13x,切点坐标为(2,26).(3)切线与直线y3垂直,切线的斜率k4.设切点的坐标
6、为(x0,y0),则f(x0)3x14,x01,或即切点坐标为(1,14)或(1,18).切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.利用导数研究函数的单调性在某个区间(a,b)内,如果f(x)0,则f(x)在这个区间上为增函数;如果f(x)0,则f(x)在这个区间上为减函数.应注意:在区间内f(x)0或f(x)0是f(x)在这个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,而不是必要条件.如果f(x)在某个区间上为增函数,那么f(x)0;如果f(x)在某个区间上为减函数,那么f(x)0.利用导数研究函数单调性的步骤为:(1)求f(x);(2)解不等式f(x)0或f(x)0
7、;(3)确定并指出函数的单调递增区间、递减区间.已知函数f(x),x0,1(1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设a1,函数g(x)x33a2x2a,x0,1,若对于任意x10,1,总存在x00,1,使得g(x0)f(x1)成立,求a的取值范围. 【导学号:97792055】【精彩点拨】(1)求f(x),列表,求单调区间及最值;(2)任意存在型问题,转化为f(x)的值域是g(x)值域的子集.【规范解答】(1)f(x),令f(x)0,得x或x(舍去).当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x01f(x)0f(x)43当x时,f(x)是减函数;当x时,f(x)是增函数.当x0,1时,f
8、(x)的值域为4,3.(2)对函数g(x)求导,得g(x)3(x2a2).a1,当x0,1时,g(x)3(1a2)0,且g(x)0的根为有限个.当x0,1时,g(x)为减函数.当x0,1时,g(x)g(1),g(0).又g(1)12a3a2,g(0)2a,即g(x)12a3a2,2a.任给x10,1,f(x1)4,3.存在x00,1,使得g(x0)f(x1),则12a3a2,2a4,3,即解式得a1或a,解式得a.又a1,a的取值范围为.1.利用导数求函数的单调区间,也就是求函数定义域内不等式f(x)0或f(x)0的解集.2.已知函数在某个区间上单调,求参数问题,通常是转化为恒成立问题.再练一
9、题2.已知aR函数f(x)(x2ax)ex(xR).(1)当a2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增,求a的取值范围.【解】当a2时,f(x)(x22x)ex,f(x)(x22)ex.当f(x)0时,(x22)ex0,注意到ex0,所以x220,解得x.所以,函数f(x)的单调递增区间为(,).同理可得,函数f(x)的单调递减区间为(,)和(,).(2)因为函数f(x)在(1,1)上单调递增,所以f(x)0在(1,1)上恒成立.又f(x)x2(a2)xaex,即x2(a2)xaex0,注意到ex0,因此x2(a2)xa0在(1,1)上恒成立,也就是ax1在(
10、1,1)上恒成立.设yx1,则y10,即yx1在(1,1)上单调递增,则y11,故a.即a的取值范围为.导数与函数的极值(最值)及恒成立问题利用导数研究函数的极值和最值应明确求解步骤,求解时切记函数的定义域,正确区分最值与极值的不同.函数的极值表示函数在一点附近的情况,是在局部对函数值比较大小;而最值是在整个区间上对函数值比较大小.函数的极值可以有多个,但最值只能有一个,极值只能在区间内取得,而最值还可以在端点处取得,最值只要不在端点处,必是一个极值.已知函数f(x)x33ax29a2xa3.(1)设a1,求函数f(x)的极值;(2)若a,且当x1,4a时,f(x)a312a恒成立,试确定a的
11、取值范围.【规范解答】(1)当a1时,f(x)x33x29x1且f(x)3x26x9,由f(x)0得x1或x3.当x1时,f(x)0,当1x3时,f(x)0,因此x1是函数的极大值点,极大值为f(1)6;当1x3时,f(x)0,当x3时,f(x)0,因此x3是函数的极小值点,极小值为f(3)26.(2)f(x)3x26ax9a23(xa)(x3a),a,当1x3a时,f(x)0;当3ax4a时f(x)0.x1,4a时,f(x)的最小值为f(3a)26a3.由f(x)a312a在1,4a上恒成立得26a3a312a.解得a.又a,a.即a的取值范围为.一般地,已知不等式在某区间上恒成立,求参数的
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