08弯曲变形.ppt
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1、,第六章 弯曲变形,材料力学,6 概 述,弯曲变形,研究范围:等直梁在平面弯曲时位移的计算。 研究目的:对梁作刚度校核; 解超静定梁(变形几何条件提供补充方程)。,1.挠度:横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与 y同向为正,反之为负。,2.转角:横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示,顺时针转动为正,反之为负。,二、挠曲线:变形后,轴线变为光滑曲线,该曲线称为挠曲线。 其方程为: v =f (x),三、转角与挠曲线的关系:,弯曲变形,一、度量梁变形的两个基本位移量,小变形,6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分,一、挠曲线近似微分方程,式(2)就是挠曲线近似微分方程。,弯曲变形,小
2、变形,对于等截面直梁,挠曲线近似微分方程可写成如下形式:,二、求挠曲线方程,1.微分方程的积分,弯曲变形,2.位移边界条件,讨论: 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件(边界条件、连续条 件)确定。 优点:使用范围广,直接求出较精确; 缺点:计算较繁。,支点位移条件:,连续条件:,光滑条件:,弯曲变形,例1 求下列各等截面直梁的挠曲线、最大挠度及最大转角。,建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,应用位移边界条件求积分常数,弯曲变形,解:,L,写出挠曲线方程并画出曲线,最大挠度及
3、最大转角,弯曲变形,例题2 图示简支梁AB受集中力P作用,试讨论该梁的弯曲变形。,解:(1)求梁的挠曲线方程和转角方程。 在外力P作用下,支座A、B处的支反力分别为,AB梁的AC、CB段的弯矩方程分别为,图7 简支梁,表1 例2题AC、CB段挠曲线方程及积分结果,(2) 考虑边界条件和连续性条件,确定积分常数,边界条件,连续性条件,将上述条件用以确定积分常数,得到关于C1,C2,D1,D2的一个四元一次方程组,解此方程组得,图7 简支梁,(3) 求梁的A、B 截面的转角,代换积分常数,得转角和挠度方程(如下表),表2 例2题AC、CB 段挠曲线方程和转角方程,(4) 求梁上的最大挠度,显然最大
4、挠度应该在梁挠度的极值截面或边值截面上。由挠度与转角之间的关系,梁的极值挠度应在转角为零的截面上。对AC段(假定ab),可见,x0在(0,a)范围内,即存在极值。其值为,(5)讨论两种特殊情况的挠度,当集中力P作用在梁跨中点(即) 时,极值点 及最大挠度 为,当集中力P无限接近于右端支座B( )时,极值点 及最大挠度为,而此时中点处的挠度为:,若用中点处的挠度 代替最大挠度 ,所引起的误差为:,可见在这种极端的情况下,用中点挠度代替最大挠度,误差仅为2.65%,故对于简支梁,可用跨度中点的挠度代替最大挠度,并且不会引起很大误差。,6-3 按叠加原理求梁的挠度与转角,一、载荷叠加:多个载荷同时作
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