安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第12讲三角恒等变换及应用教案20170914428.wps
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1、三角恒等变换及应用 1经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法 教 的作用; 学 2能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的 目 正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系; 标 3能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、 半角公式,但不要求记忆)。 从近几年的高考考察的方向来看,这部分的高考题以选择、解答题出现的机会 较多,有时候也以填空题的形式出现,它们经常与三角函数的性质、解三角形及向 命 量联合考察,主要题型有三角函数求值,通过三角式的变换研究三角函数的性质。 题 本讲内容是高考复习的重点之一,三角函数的化简、
2、求值及三角恒等式的证明 走 是三角变换的基本问题。历年高考中,在考察三角公式的掌握和运用的同时,还注 向 重考察思维的灵活性和发散性,以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和 综合分析能力。 教 学 多媒体课件 准 备 1 一知识梳理: 1两角和与差的三角函数 sin( ) sin cos cos sin ; cos( ) cos cos sin sin ; tan( ) tan tan 1mtan tan 。 2二倍角公式 sin 2 2 sin cos ; cos 2 cos2 sin2 2 cos2 1 1 2sin2 ; tan 2 2 tan 1 tan2 。 3三角函数式的化简
3、 教 常用方法:直接应用公式进行降次、消项;切割化弦,异名化同名,异角 学 化同角; 三角公式的逆用等。(2)化简要求:能求出值的应求出值;使三角 过 函数种数尽量少;使项数尽量少;尽量使分母不含三角函数;尽量使被开方 程 数不含三角函数。 (1)降幂公式 1 1 sin cos sin 2 ;sin2 2 cos 2 2 ; cos2 1 cos 2 2 。 (2)辅助角公式 asin x bcos x a b sinx , 2 2 b a 其中sin ,cos 。 a b a b 2 2 2 2 4三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间
4、的关 系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题; (2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值, 解题的关键在于“变角”,如 ( ) ,2 ( )( )等,把所求 角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论; 2 (3)给值求角:实质上转化为“”给值求值 问题,由所得的所求角的函数值结 合所求角的范围及函数的单调性求得角。 5三角等式的证明 (1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用 “”“化繁为简、左右同一等方法,使等式两端化 异 为 同”; (2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系
5、, 采用代入法、消参法或分析法进行证明。 二典例分析 1 x (2011广东高考)已知函数 f(x)2sin( 6),xR R. 3 5 (1)求 f (4 )的值; 10 6 (2)设 ,0, 2,f(3 2) ,f(32) ,求 cos()的 13 5 值 1 x (1)f(x)2sin( 6), 3 5 5 f(4 )2sin( 2sin . 6) 2 12 4 10 6 (2),0, 2,f(3 2) ,f(32) , 13 5 10 6 2sin ,2sin . 13 ( 2) 5 5 3 即 sin ,cos . 13 5 12 4 cos ,sin . 13 5 cos()cos
6、 cos sin sin 12 3 5 4 16 . 13 5 13 5 65 由题悟法 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 、 的三角函数 表示 的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角 之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的 以题试法 3 3 cos 2 1(1)已知 sin , ,则 _. 5 ( ,) 2 2sin( 4) 5 (2)(2012济南模拟)已知 为锐角,cos 5 ,则 tan( 2)( ) 4 1 A3 B 7 4 C D7 3 cos 2 cos2sin2 解析:(1) cos sin , 2 2 2sin( 4) 2( co
7、s ) sin 2 2 3 4 sin 5,( ,),cos . 2 5 7 原式 . 5 2 5 2 2 4 (2)依题意得,sin ,故 tan 2,tan 2 ,所以 tan 5 14 3 4 1 3 1 ( 2) . 4 4 7 1 3 7 答案: (1) (2)B 5 三角函数公式的逆用与变形应用 典题导入 x (2013德州一模)已知函数 f(x)2cos2 3sin x. 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; 1 cos 2 (2)若 为第二象限角,且 f( 3) ,求 的值 3 1cos 2sin 2 x (1)f(x)2cos2 3sin x1cos x 3sin
8、x12cos(x 3), 2 周期 T2,f(x)的值域为 1 1 1 (2)f( 3) ,12cos ,即 cos . 3 3 3 2 2 为第二象限角,sin . 3 4 cos 2 cos2sin2 1cos 2sin 2 2cos22sin cos 1 2 2 cos sin 3 3 12 2 . 2cos 2 2 3 由题悟法 运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆 用及变形,如 tantantan()(1tantan)和二倍角的余弦公 式的多种变形等 以题试法 4 3 2(1)(2012赣州模拟)已知 sin( 6)cos 5 ,则 sin( 3)的值
9、 为( ) 4 3 A. B. 5 5 3 C. D. 2 3 5 3 (2)若 ,则(1tan )(1tan )的值是_ 4 3 3 4 3 解析:(1)由条件得 sin cos , 2 2 5 1 3 4 即 sin cos . 2 2 5 4 sin( 3) . 5 3 tan tan (2)1tan tan() , 4 1tan tan tan tan 1tan tan . 1tan tan tan tan 2, 即(1tan )(1tan )2. 答案:(1)A (2)2 角 的 变 换 典题导入 sin cos (1)(2012温州模拟)若 3,tan()2,则 tan( sin
10、cos 2)_. 5 4 (2)(2012江苏高考)设 为锐角,若 cos( 6)5,则 sin(212)的值 为_ sin cos tan 1 (1)由条件知 3, sin cos tan 1 则 tan 2. 故 tan(2)tan tantan 22 4 . 1tantan 1 2 2 3 4 (2)因为 为锐角,cos( 6) , 5 3 24 所 以 sin( 6)5,sin 2( 6) , 25 7 cos 2( 6) , 25 所以 sin(212)sin2( 6) 4 24 2 7 2 17 2 . 25 2 25 2 50 4 17 2 (1) (2) 3 50 由题悟法 1
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