安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第13讲正余弦定理及应用教案20170914427.wps
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1、正、余弦定理及应用 教 (1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理, 学 并能解决一些简单的三角形度量问题; 目 (2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算 标 有关的实际问题。 对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形 命 内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题,立体几何体的空间角以及解析几 题 何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架,以 走 三角形为主要依托,结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一 向 般为选择题、填空题,也可能是中、难度的解答题。 教 学 多媒体课件 准
2、 备 一知识梳理: 1直角三角形中各元素间的关系: 如图,在ABC 中,C90,ABc,ACb,BCa。 (1)三边之间的关系:a2b2c2。(勾股定理) (2)锐角之间的关系:AB90; 教 (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) 学 过 sinAcosB a c ,cosAsinB b c ,tanA a b 。 2 斜三角形中各元素间的关系: 程 如图 6-29,在ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对 边。 (1)三角形内角和:ABC。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。 a sin A b c 2R 。 sin B s
3、inC (R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它 1 们夹角的余弦的积的两倍。 a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC。 3三角形的面积公式: (1) (2) 1 2 1 2 1 1 aha bhb chc(ha、hb、hc分别表示 a、b、c上的高); 2 2 1 1 absinC bcsinA acsinB; 2 2 (3) a 2 sin BsinC C) 2sin(B b 2 sin C 2sin(C sin A A) c sin Asin B 2 2 sin(A B) ; (4)2R2si
4、nAsinBsinC。(R为外接圆半径) (5) abc 4R ; 1 ( ) (6) s(s a)(s b)(s c) ;s a b c ; 2 (7)rs。 4解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中 至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地,这里所说的元 素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积 等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形:若给出的三角形是直角三角形, 则称为解直角三角形;若给出的三角形是斜三角形,则称为解斜三角形。 解斜三角形的主要依据是: 设ABC的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。
5、(1)角与角关系:A+B+C = ; (2)边与边关系:a+bc,b+ca,c+ab,ab b; (3)边与角关系: a b c 正弦定理 2R (R为外接圆半径); sin A sin B sin C 余弦定理 c2 = a2+b2 2bccosC ,b2 = a2+c2 2accosB ,a2 = b2+c2 2bccosA; 它们的变形形式有:a = 2R sinA, sin sin A B a b , cos A b2 c a 2 2 。 2bc 5三角形中的三角变换 2 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角 形自身的特点。 (1)角的变换 因为在ABC
6、中,A+B+C= ,所以 sin(A+B)=sinC ;cos(A+B)= cosC ; tan(A+B)=tanC。 sin A A B B C cos , cos 2 2 2 sin C 2 ; (2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。 r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半。 (3)在ABC 中,熟记并会证明:A,B,C 成等差数列的充分必要条 件是B=60;ABC 是正三角形的充分必要条件是A,B,C 成等差数列且 a,b,c 成等比数列。 二典例分析 (2012浙江高考)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A 3acos B. (
7、1)求角 B 的大小; (2)若 b3,sin C2sin A,求 a,c 的值 (1)由 bsin A 3acos B 及正弦定理 a b ,得 sin B 3cos B, sin A sin B 所以 tan B 3,所以 B . 3 a c (2)由 sin C2sin A 及 ,得 c2a. sin A sin C 由 b3 及余弦定理 b2a2c22accos B, 得 9a2c2ac. 所以 a 3,c2 3. 在本例(2)的条件下,试求角 A 的大小 a b 解: , sin A sin B 3sin asin B 3 1 sin A . b 3 2 3 A . 6 由题悟法 1
8、应熟练掌握正、余弦定理及其变形解三角形时,有时可用正弦定理,有 时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷 2已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的 对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理 进行判断 以题试法 1ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin Bbcos2A 2a. b (1)求 ; a (2)若 c2b2 3a2,求 B. 解:(1)由正弦定理得, sin2Asin Bsin Bcos2A 2sin A,即 sin B(sin2Acos2A) 2sin A. b 故 sin B 2
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