安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第14讲平面向量的概念及应用教案20170914426.wps
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1、平面向量的概念及应用 (1)平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的 含义,理解向量的几何表示; (2)向量的线性运算 通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义; 教 通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的 学 含义; 目 了解向量的线性运算性质及其几何意义。 标 (3)平面向量的基本定理及坐标表示 了解平面向量的基本定理及其意义; 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算; 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 本讲内容属于平面向量的基础性内容,与平面向量的数量
2、积比较出题量较小。 以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质,重点考察向量的概念、向量的几何 命 表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运 题 算等。此类题难度不大,分值 59分。 走 预测 2017年高考: 向 (1)题型可能为 1 道选择题或 1 道填空题; (2)出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交 点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 教 学 多媒体课件 准 备 1 一知识梳理: 1向量的概念 向量 既有大小又有方向的量。向量一般用 a,b,c 来表示,或用有向线段的起点 与 终 点 的 大 写 字 母 表 示 , 如
3、: AB 几 何 表 示 法 AB , a ; 坐 标 表 示 法 a xi y j (x, y) 。向量的大小即向量的模(长度),记作|AB |即向量的大小, 记作 a |。 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。 零向量 长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量 a 0 教 a 0。由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向量 平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注意与 0 的区别) 学 单位向量 过 程模为 1 个单位长度的向量,向量a 为单位向量 0 a 1。 0 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的
4、非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上,方向 相同或相反的向量,称为平行向量,记作 a b 。由于向量可以进行任意的平移(即 自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取, “现在必须区分清楚共线向量中的 共线”“与几何中的 共线”、的含义,要理解好平 “”“”行向量中的 平行 与几何中的 平行 是不一样的。 相等向量 。大小 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为 a b 相等,方向相同 (x1, y ) (x , y ) 1 2 2 x 1 y 1 x 2 y 2 。
5、 2向量的运算 (1)向量加法 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法。 设 AB ar, BC b ,则 a +b =AB BC =AC 。 规定: (1) 0 a a 0 a ; (2)向量加法满足交换律与结合律; “”“”向量加法的 三角形法则 与 平行四边形法则 (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知 向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被 减向量。 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向 量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量 的终点。 当两个向量的起点
6、公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三 角形法则。 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 可 推 广 至 多 个 向 量 相 加 : AB BC CD L PQ QR AR “,但这时必须 首尾相连”。 (2)向量的减法 相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量。 记作 a ,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有: (i) (a) = a ; (ii) a +( a )=( a )+a =0 ;(iii)若 a 、b 是互为相反向量,则 a = b ,b = a ,a +b =0 。 向量减法 向量 a 加上b 的相反向量叫做 a 与b 的差, 求
7、两个向量差的运算,叫做向量的减法。 记作: a b a ( b) 可以表示为从b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、b 有共同 作图法: a b 起点)。 (3)实数与向量的积 3 实数 与向量 a 的积是一个向量,记作 a ,它的长度与方向规定如下: ( ) a a ; ( )当 0 时, a 的方向与 a 的方向相同;当 0时, a 的方向与 a 的 方向相反;当 0 时, 0,方向是任意的。 a 数乘向量满足交换律、结合律与分配律。 3两个向量共线定理: 向量b 与非零向量 a 共线 有且只有一个实数 ,使得b =a 。 4平面向量的基本定理 如果 e1,e 是一个平面内的两个不共线
8、向量,那么对这一平面内的任一向量 a , 2 有且只有一对实数 使: a 其中不共线的向量 1, 1e e e 叫做表示这一 1,e 2 1 2 2 2 平面内所有向量的一组基底。 5平面向量的坐标表示 (1)平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的 两个单位向量 i , j 作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表 r 示成 a xi yj ,由于 a 与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量 a 的坐 标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标。 规定: (1)相等的向量坐标
9、相同,坐标相同的向量是相等的向量; (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与 其相对位置有关系。 (2)平面向量的坐标运算: r r 若 ,则 a b x x y y a x1, y1 ,b x2 , y2 1 2 , 1 2 ; 若 A ,则 x1, y , B x , y AB x2 x1, y2 y1 ;1 2 2 若 a =(x,y),则 a =( x, y); r 若 a x y b x y ,则 1, 1 , 2 , 2 ,则 ar b x y x y 。 / 0 1 2 2 1 二典例分析 给出下列命题: 4 两个具有共同终点的向量,一定是共线向量;
10、 若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形 的充要条件; 若 a a 与 b b 同向,且|a a|b b|,则 a ab b; , 为实数,若 a ab b,则 a a 与 b b 共线 其中假命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 不正确当起点不在同一直线上时,虽然终点相同,但向量不共线 正确 AB DC ,|AB |DC |且 AB DC . 又A,B,C,D 是不共线的四点, 四边形 ABCD 是平行四边形 反之,若四边形 ABCD 是平行四边形,则 AB 綊 DC 且 AB 与 DC 方向相同,因此 AB DC . 不正确两向量不能比较
11、大小 不正确当 0 时,a a 与 b b 可以为任意向量,满足 a ab b,但 a a 与 b b 不一定共线 C 由题悟法 1平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键,特别是对相等向量、零向量 等概念的理解要到位,充分利用反例进行否定也是行之有效的方法 2几个重要结论 (1)向量相等具有传递性,非零向量的平行具有传递性; (2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量; (3)向量平行与起点的位置无关. 以题试法 1设 a a0 为单位向量,若 a a 为平面内的某个向量,则 a a|a a|a a0;若 a a 与 a a0 平行,则 a a|a
12、a|a a0;若 a a 与 a a0平行且|a a|1,则 a aa a0.上述命题中,假命题的个 数是( ) A0 B1 C2 D3 解析:选 D 向量是既有大小又有方向的量,a a 与|a a|a a0 的模相同,但方向不一 5 定相同,故是假命题;若 a a 与 a a0平行,则 a a 与 a a0的方向有两种情况:一是同向, 二是反向,反向时 a a|a a|a a0,故也是假命题综上所述,假命题的个数是 3. 向量的线性运算 典题导入 (1)(2011四川高考)如图,正六边形 ABCDEF 中, BACD EF ( ) A0 B BE C AD DCF 1 (2)在ABC 中,已
13、知D 是AB 边上一点,若 AD 2DB ,CD CACB , 3 则 等于( ) 2 1 A. B. 3 3 1 2 C D 3 3 (1)如图,在正六边形 ABCDEF 中,CD AF , BF CE , BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF. (2)CD CA AD ,CD CB BD , 2CD CACB AD BD . 又 AD 2DB , 1 2CD CACB AB 3 1 CACB (CB CA) 3 2 4 CA CB . 3 3 1 2 2 CD CA CB ,即 . 3 3 3 (1)D (2)A 6 若(2)中的条件作如下改变:若点 D 是 A
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