高中数学第一章三角函数1.1任意角蝗1.1.2蝗制教案苏教版必修420170824319.wps
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1、1 11.21.2 弧度制 整体设计 教学分析 在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满 足我们不同的需要现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同 的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位, 1 并且一度的角等于周角的 ,记作 1. 360 通过类比引出弧度制,给出 1 弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得 出角度和弧度的换算方法在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识 引入弧度制的必要性这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成 弧度的
2、概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础 通过探究讨论,关键是弄清 1 弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义, 达到突破难点之目的通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可 靠性、可行性通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式使学生认识到角 度制、弧度制都是度量角的制度 三维目标 1通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量, 从而引出弧度制 2通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但是相 互联系、辩证统一的使学生通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到
3、任何新知识 的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣 重点难点 教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算 教学难点:弧度的概念及其与角度的关系 课时安排 1 课时 教学过程 1 导入新课 思路 1 1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样 换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?度量角 的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的? 思路 2 2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器日晷,或者利用普遍使用的钟表实 际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来
4、确定时间的无论采用哪一种方法, 度量一个确定的量所得到的量数必须是惟一确定的在初中,已学过利用角度来度量角的大小, 现在来学习角的另一种度量方法弧度制要使学生真正了解弧度制,首先要弄清 1 弧度的 含义,并能进行弧度与角度的换算 在引入弧度制后,可以引导学生建立弧与圆心角的联系弧的度数等于圆心角的度 数随着角的概念的推广,圆心角和弧的概念也随之推广:从“”形 上说,圆心角有正角、零 “”角、负角,相应地,弧也就有正弧、零弧、负弧;从 数 上讲,圆心角与弧的度数有正数、 0、负数圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负可以用三 角函数线(有向线段)的方向来表示一样每一个
5、圆心角都有一条弧与它对应,并且不同的圆心 角对应着不同的弧,反之亦然 推进新课 Error! 弧度制 11的角 1 周角的 为 1的角 360 21 弧度的角 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 3弧度数 正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为 0.一扇形的半径为 R,弧长 1 1 为 l,则 l|R,S lR R2|. 2 2 4 角 度 制 与 弧 度 制 的 换 算 关 系 弧 度 180, 1 弧 度 , 1 弧 度 180 180 ( )5718. 教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,提出这是认识弧度制 2 的关键,为更好地理解角度
6、与弧度的关系奠定基础讨论后教师提问学生,并对回答好的学生 及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键教师板书弧度制的定义:规定长度 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制; 在弧度制下,1 弧度记作 1 rad.如图 1 中, 的长等于半径 r,AB所对的圆心角AOB 就是 l 1 弧度的角,即 1. r 1 我们已学习过角的度量,规定周角的 为 1 度的角,这种用度作为单位来度量角的单位 360 制叫做角度制(degree measure)除了采用角度制外,在科学研究中还经常采用弧度制 长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度(radi
7、an)的角,记作 1 rad(图 1)用弧度 作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制(radian measure) 图 1 用弧度表示角的大小时,只要不产生误解,可以省略单位例如 1 rad,2 rad, rad, 可分别写成 1,2,. 正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数为 0. 2r 若圆 半径为 r,圆心角AOB(正角)所对的圆弧长为 2r,那么AOB 的弧度数就是 2(图 r 2) 图 2 教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出 区别和联系教师给予补充和提示引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一, “”“”弧度制是以
8、 弧度 为单位来度量角的单位制,角度制是以 度 为单位来度量角的单位制; 1 第二, 1 弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而 1的角是周角的 ;第 360 3 “”“”三,无论是以 弧度 还是以 度 为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值 2r 若圆半径为 r,圆心角AOB(正角)所对的圆弧长为 2r,则AOB 的弧度数就是 r 2(图 3)故有 3602 rad, 图 3 180 1 rad0.017 45 rad,1 rad( )57.30. 180 如图 4 给出了一些角的弧度数与角度数之间的关系,需熟记 图 4 180 弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度
9、数为 rad( ),nn (rad) 180 可让学生填写下列的表格,找出某种规律 的长 OB 旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数 r 逆时针方向 2r 逆时针方向 r 1 2r 2 0 180 360 由上表可知,如果一个半径为 r 的圆的圆心角 所对的弧长是 l,那么 的弧度数的绝 4 l 对值是 .这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制 都是角的度量制,那么它们一定可以换算推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它 们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一 教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集 R
10、 R 之间建立起一一对 应关系:每一个角都有惟一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也 都有惟一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应值得注意的是:今后在表示与角 终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角 的单位来决定另一项的单位, 即两项所用的单位制必须一致, 绝对不能出现 k360 或者 2k60一类的写法在 3 弧度制中,与角 终边相同的角,连同角 在内,可以写成 2k(kZ Z)的形式如 图 5 为角的集合与实数集 R R 之间的一一对应关系 图 5 与角 终边相同的角,连同角 在内,可以写成 2k(kZ Z)的形式弧度制 1 1 下关于扇形的公
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