高中数学第一章三角函数1.7.1正切函数的定义1.7.2正切函数的图像和性质教案北师大版必修4201.wps
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1、1.7.11.7.1 正切函数的定义 1.7.21.7.2 正切函数的图像和性质 整体设计 教学分析 本节课的背景是:这之前我们已经学习了正弦函数和余弦函数的图像与性质.函数的研究 具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图像,通过观 察图像获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述. 对正切函数,我们也遵循这一原则,先定义正切函数,再利用单位圆找出正切线,然后类比画正 弦函数图像的方式,利用正切线画出正切函数的图像.通过图像来研究它的主要性质.这样处理 学生驾轻就熟,易于理解和掌握. 通过多媒体教学,让学生通过对图像的动态观察,对知识点的理
2、解更加直观、形象,以提高 学生的学习兴趣,提高课堂教学质量.以学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗 透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图像的观察来整理相应的知识点的 能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也 有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果. 由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图像与性质的经验,这种经验完全可以迁移 到对正切函数性质的研究中,因此,“”我们可以通过 探究 提出,引导学生根据前面的经验研究 正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法. 三维
3、目标 1.通过对正切函数的图像与性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运 用新旧知识的能力.学会通过对图像的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际 问题的能力. 2.在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图像 与性质,从而培养学生的类比思维能力. 3.通过正切函数图像的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好 数学的信心. 重点难点 教学重点:掌握正切函数的定义,正切函数的图像与性质的简单应用. 教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(直接导
4、入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图像和性质, 你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图像与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图像 与性质?由此展开新课. 思路 2.先由图像开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切 函数的图像.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法. 推进新课 新知探究 提出问题 什么是正切函数?什么是正切线? 我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗? 我们知道作周期函数的图像一般是先作出长度为一个周期的区间上的图像,然后向左、右扩 1 展,这样就可以得到它在整个定义域上的图像.那么我们先选哪一个区间
5、来研究正切函数呢? 为什么? “”我们用 五点法 能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗? “你能类比 五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗?你能类比归纳出正切函数的主 要性质吗? 活动: :教师引导学生回忆前面对正弦、余弦函数的学习.阅读课本第 33 页,明确正弦函数的定义. 我们前面用正弦线、余弦线画出了正弦函数、余弦函数的图像.那么有没有线段可以表示正切 线呢? 如图 1,在直角坐标系中,设单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A(1,0),任意角 的终边与单位 圆交于点 P,过点 A(1,0)作 x 轴的垂线,与角的终边或终边的延长线相交于 T 点.从图中容易看 出
6、:当角 位于第一和第三象限时,T 点位于 x 轴的上方;当角 位于第二和第四象限时,T 点 位于 x 轴的下方.过点 P 作 x 轴的垂线,与 x 轴交于点 M,那么,不论角 的终边在第几象限,都 有AOT 与MOP 的正切值相等.我们称线段 AT 为角 的正切线. 问题,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、 周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后根据作出的正切函数图像,类比正弦、余 弦函数探究正切函数的性质,教师指导学生充分利用正切曲线的直观性. 问题,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图 1. 图 1 问题,正切函数图像选用哪个区
7、间作为代表区间更加自然呢?教师引导学生在课堂上展 开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了 0,作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把 课件中先作出- 2 , 2 内的图像,改为先作出0,内的图像,再进行图像的平移,得到整 个定义域内函数的图像,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图 像既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(- 这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图像,如图 2. 2 , 2 )的图像为好. 图2 根据正切函数的周期性,把图 2 向左、右扩展,得到正
8、切函数 y=tanx,xR R,且 x 2 +k(k Z Z)的图像,我们称正切曲线,如图 3. 2 图 3 问题,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函 数 y=tanx,x(- , )的简图.学生可看出有三个点很关键:(- ,-1),(0,0),( ,1),还有 2 2 4 4 两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(- ,-1),(0,0),( ,1),再画两条平 4 4 行线 x=- ,x= ,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助. 2 2 讨论结果: : 略. 正切线是 AT. 略. 能. “” 三点两线 法. 性质如下
9、: (1)周期性 由诱导公式 tan(x+)=tanx,xR R,x 2 +k,kZ Z, 可知,正切函数是周期函数,周期是 . 这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正 切函数的周期性,后面的正切函数图像作出以后,还可从图像上观察正切函数的这一周期性. (2)奇偶性 由诱导公式 tan(-x)=-tanx,xR R,x 2 +k,kZ Z, 可知,正切函数是奇函数,所以它的图像关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图像还能发 现对称点吗?与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是 ( k 2 ,0),kZ Z. (3)单调
10、性 通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(- , )内是增函数,又 2 2 由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(- +k, +k),kZ Z 内都是增函数. 2 2 (4)定义域 根据正切函数的定义 tan= y x ,显然,当角 的终边落在 y 轴上任意一点时,都有 x=0,这 3 时正切函数是没有意义的;又因为终边落在 y 轴上的所有角可表示为 k+ ,kZ Z,所以正切 2 函数的定义域是|k+ ,kZ Z,而不是 +2k,kZ Z,这个问题不少初学者很 2 2 不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质. (5)值域 由多媒体课
11、件演示正切线的变化规律,从正切线知,当 x 大于- 且无限接近- 时,正切线 2 2 AT 向 Oy轴的负方向无限延伸;当 x 小于 且无限接近 时,正切线 AT 向 Oy轴的正方向无限 2 2 延伸.因此,tanx在(- , )内可以取任意实数,但没有最大值、最小值. 2 2 因此, 正切函数的值域是实数集 R R. 提出问题 请同学们认真观察正切函数的图像特征,由形及数从正切函数的图像讨论它的性质. 设问:每个区间都是增区间,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗?请举一个例 子. 活动: :问题,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线 x= 2 +k,kZ Z 所隔开的无穷多 支
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