高中数学第一章三角函数1.9三角函数的简单应用与基本关系教案北师大版必修42017082529.wps
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1、三角函数的简单应用 整体设计 教学分析 我们已经知道周期现象是自然界中最常见的现象之一,三角函数是研究周期现象最重要的 数学模型.在这一节,我们将通过实例,让同学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问 题. 三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习. 本节教材通过例题及变式训练,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的 选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性) 应的应 用. 通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的 知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形
2、结合、抽象概括等能力.由于实际问题 常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的 散点图,根据散点图进行函数拟合等. 三维目标 1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律,将实际问题抽 象为三角函数有关的简单函数模型. 2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常 生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想 的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力. 3.通过实际问题的解决,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的 钻研精
3、神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神. 重点难点 教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型, 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题. 教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型, 问题并调动相关学科的知识来解决问题 . 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.1.(情境导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化 的现象无处不在, 它 到那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题?它到 底能发 挥哪些作用呢?由此展开新课. 思路 2.2.我们已经学习了三角函数的概念、图像与性质,特别研究了三
4、角函数的周期性.在现实 生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢?面临一个 实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢?以下通过几个具体例子,来探究这种 三角函数模型的简单应用. 推进新课 新知探究 提出问题 回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规 律的?又是怎样解决实际问题的? 数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么? 上述的数 学模型是怎样建立的?解决实际问题的一般程序是什么? 1 活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程,做好知识迁移 的准备.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并
5、鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新 的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的 引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据画散点图选择函数模 型求解函数模型检验用函数模型解释实际问题. 这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下 的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合 作探究中自己解决问题,探求新知. 讨论结果: : 描述现实世界中不同增长规律的函数模型.解决的方法是首先建立数学模型. 简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度
6、来反映或近似地反 映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概 括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究建立实际问题的一般数学方法. 解决实际问题的一般程序是: 1审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求,理解题目中的数量关系; 2建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型; 3求解: :对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论; 4还原:把数学结论还原为实际问题的解答. 提出问题 在自然界中,存在着大量的周期函数,两个周期函数合成后,是否还是周期函数呢?周期函 数的类型是否发生了改变?比如:两个正弦电流 i1=3sin(100t+ 3 ),i2
7、=4sin(100t- 6 )合成 后是否仍是正弦电流呢?类似地,两个声波和光波合成后又是怎样的? 活 动 : 函 数 y=A1sin(1x+),y=A2sin(2x+) 叠 加 后 , 即 函 数 y=A1sin(1x+)+A2sin(2x+)是否仍是正弦型函数呢?若不是,需满足怎样的条件? 讨论结果: :一,利用图形计算器或其他绘图工具绘制一些函数,如:y=sinx+ 3 cosx,y= 3 sin2x+cosx,y=sinx+cosx,y=3sinx+4cosx,y= 3 sinx+cos3x, 观 察 这 些 函 数 的 图 像 , 得 出 y=asin1x+bcos2x 仍是正弦型函
8、数的条件. 二,下面用图形计算器或其他绘制函数工具研究函数 y=asinx+bcosx 与化简后的正弦型函数 y=Asin(x+)的振幅,周期,初相与 a,b 的联系. 三,通过实验验证你的猜想.可从具体函数入手,例如:先依据你猜测的函数类型,借助图形计算 器或软件中测量等工具猜测出函数 y=sinx+ 3 cosx解析式的化简形式.绘制它的图像,验证它 是否与 y=sinx+ 3 cosx的图像完全吻合. 四,请在上面实验或进一步猜测实验的基础上,尝试确定该类型函数中参量与 y=asinx+bcosx 中 a,b 的关系,得出三角式 asinx+bcosx 的化简公式,这个公式在正弦电流,声
9、波和光波的合成 中经常用到. 五,请尝试证明你得出的化简公式,指出与其相关联的三角变换公式并说明两者间的联系. 六,试求前面提到的两正弦电流合成后的电流的振幅,周期,初相. 应用示例 例 1 如图 1,某地一天从 614 时的温度变化曲线近似满足函数 y=sin(x+)+b. 2 图 1 (1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随 时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗?给出的模型函数是什么? 要解决的问题是什么?怎样解决?然后完全放给学生自己讨论解决. 题目已经给
10、出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数 图像的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实 际指的是“求 6 时到 14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图像直接写出而 不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2) 小题只要 用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求 是利用半周期(14-6) , 通过建立方程得解. 解: :(1)由图可知,这段时间的最大温差是 20 . (2)从图中可以看出,从 614时的图像是函数 y=Asin(x+)+b 图像的半个周期的图像
11、, A= 1 2 (30-10)=10,b= 1 2 (30+10)=20. 1 2 2 =14-6, = 8 .将 x=6,y=10 代入上式,解得 = 3 4 . 综上,所求解析式为 y=10sin( 8 x+ 3 4 )+20,x6,14. 点评: :本例中所给出的一段图像实际上只取 614 即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关 键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自 变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉. 例 2 (2007 全国高考)函数 y=|sinx|的一个单调增区间是( ) A.(- 4 , 4) B.( 4, 3 4 ) C.(
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- 高中数学 第一章 三角函数 1.9 简单 应用 基本 关系 教案 北师大 必修 42017082529
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