高中数学第三章三角恒等变换3.2.3两角和与差的正切函数教案北师大版必修420170825262.wps
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1、1.2.31.2.3 两角和与差的正切函数 整体设计 教学分析 教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来,单独作为一节,这对学生的自主探 究学习提供了平台.因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,对其应用学生有了 一定的理解,同时对于三角函数变形中,角的变换也有了一定的掌握,因此在本节课的教学中可 以充分利用学生的知识迁移,更多地让学生自主学习,独立地推导两角和与差的正切公式,为学 生提供进一步实践的机会.也可以说本节并不是什么新的内容,而是对前面所学知识的整合而 已.在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的 科学态度和锲而不舍的钻研精
2、神.对于公式成立的条件,可以在学生自主推导公式中通过观察、 比较、分析、讨论,在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决. 在学习两角和与差的正切公式中,有许多优美的三角恒等式,包括倍角公式,半角公式等.它 可以唤起学生的美感,教学中要注意这种形式上的特点,引导学生欣赏其结构、变形之美.本节 作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个 小结,从分析公式的推导过程入手,探究问题解决的来龙去脉,揭示它们的逻辑关系,使学生更 好地用分析的方法寻求解题思路. 三维目标 1.会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式,能运用两角和与差的正切公 式进行简单的
3、化简、求值及三角恒等证明. 2.通过两角和与差的正切公式的推导及运用,让学生从中体会转化与化归的思想方法,培养学 生用联系变化的观点观察问题,通过学生的互相交流增强学生的合作能力,加强学生对公式的 理解,在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次. 重点难点 教学重点:两角和与差的正切公式的推导及应用. 教学难点:两角和与差的正切公式的灵活运用,特别是逆用及变形用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1 1.(问题导入)通过前面的学习,你能否求出 tan15的值?学生很容易转化为 30、45 的正弦、余弦来求.教师进一步提出:能否直接利用 tan30和 tan45来求出 tan15呢?由
4、 此展开新课,探究两角和与差的正切公式. 思路 2 2.(直接导入)在研究了和与差角 的正弦、余弦与单角 、 的正弦、余弦间的 关系后,能否探究出 tan()与 tan、tan 间的关系?是否与 sin()公式相似?如 何推导呢?由此展开新课,揭示课题. 推进新课 新知探究 提出问题 利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出 tan15的值,那么怎样直接利用 tan30 和 tan45来求出 tan15呢? 利用所学两角和与差的公式,对比分析公式 C- 、C+ 、S- 、S+,能否推导出 tan(-)=?tan(+)=? 分析观察公式 T-、T+ 的结构特征与正、余弦公式有什么不同? 前面两
5、角和与差的正,余弦公式是恒等式,和与差的正切呢? 1 活动:教师引导学生观察思考前面我们推出的公式 C-、C+、S+、S-,可以完全让学生 自己进行探究 tan(-),tan(+)究竟如何,教师只是适时地点拨就行了.通过教师引导学 生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切,通过除以 coscos 即可得到,在这一过程 中学生很可能想不到讨论 coscos 等于零的情况,这时教师不要直接提醒,让学生通过观察 验证自己悟出来才有好效果. 对 coscos 讨论如下: 当 cos(+)0 时,tan(+)= sin( cos( ) ) sin cos cos cos cos sin si n si
6、 n . 若 coscos0,即 cos0 且 cos0 时,分子分母同除以 coscos,得 tan tan tan(+)= 1 tan tan . 根据角 、 的任意性,在上面的式子中, 用- 代之,则有 tan tan() 1 tan tan() tan(-)= tan 1 tan tan tan . 由此推得两角和与差的正切公式,简记为“T-、T+”. tan tan tan(+)= 1 tan tan ;(T+) tan tan tan(-)= 1 tan tan .(T-) 我们把公式 T+,T- 分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式,并且从推导过程可以 知道 、, 有一定的
7、取值范围,即 2 +k(kZ Z), 2 +k(kZ Z), 2 +k(kZ Z),这样才能保证 tan()与 tan,tan 都有意义. 教师应留出一定的时间让学生回味,反思探究过程,点明推导过程的关键是: tan(+)sin(+),cos(+)sin、sin、cos、costan、tan.我 们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面: 公式成立的条 件是什么?(提示学生从公式的形式和推导过程看)tan、tan、tan()都有意义,且 1tantan0; 注意公式的形式:公式右边分子是单角 、 正切的和与差,分母是 1 减 (或加)单角 、 正切的积公式,右边分子的
8、符号与公式左边的符号相同,公式右边分母的符 号与分子的符号相反; 公式的作用:将复角 的正切化为单角 、 的正切形式,用于 角的变换.(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明. 至此,我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,统一叫作三角函数的和差公式.一 般地,我们把公式 S+,C+,T+ 都叫作和角公式,而把公式 S-,C-,T- 都叫作差角公 式.要让学生明晰这六个公式的推导过程,清晰逻辑关系主线.可让学生自己画出这六个框图,通 过逻辑联系图,深刻理解它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒 学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们
9、的逆用及变形用.如两角和与差的正切公 式 的 变 形 式:tan+tan=tan(+)(1-tantan),tan-tan=tan(-)(1+tantan),在 化简求值中就经常用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力.对于 两角和与差的正切公式,当 tan,tan 或 tan()的值不存在时,不能使用 T 处理某 2 些问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如:化简tan( 2 -),因为tan 2 的值不存在,不能应 用两角和与差的正切公式,所以改用诱导公式 tan( 2 -)= sin( 2 cos( 2 ) ) cos sin 来处理. 讨论结果:略. 应用示例 例
10、 1 已知 tan=2,tan=- 1 3 ,其中 0 2 , 2 . (1)求 tan(-);(2)求 + 的值. 活动: :本例是两角和与差的正切公式的直接运用,教师可让学生独立解决.对于(2)教师要提醒 学生注意判断角的范围,这是解这类题目的关键步骤.让学生养成良好的习惯:由三角函数值求 角必先找出所求角的范围. 解: :(1)因为已知 tan=2,tan=- 1 3 , tan tan 所以 tan(-)= 1 tan tan 2 1 1 3 2 3 =7. tan tan (2)因为 tan(+)= 1 tan tan = 2 1 1 3 2 3 =1, 又因为 0 2 , 2 ,所
11、以 2 + 3 4 . 在 2 与 3 4 之间,只有 5 4 的正切值等于 1,所以 += 5 4 . 1 1 例 2 计算 tan15 tan15 的值. 活动: :教材安排本例的目的是让学生体会公式的逆用,难度不大,可由学生自己完成.对部分思 路受阻的学生,教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点,再对比公式右边,马上发现与 T-右边形式相近,但需要进行一定的变形,又因 tan45=1,原式化为 用公式 T- 即可解得. 解: :因为 tan45=1, tan 45 45 tan15 tan15 ,再逆 1 tan 所以 1 1 tan15 tan15 tan 45 = 1 tan 4
12、5 tan15 tan15 =tan(45-15)=tan30= 3 3 . 点评: :本例体现了对公式全面理解上的要求,要求学生能够从正、反两个角度使用公式,与正用 相比,反用表现的是一种逆向思维,它不仅要求有一定的反向思维意识,对思维的灵活性要求也 3 高,而且对公式要有更深刻的认识. 变式训练 1.不查表求 tan105的值. 解: :tan105=tan(60+45) tan 60 tan 45 3 1 = 2 3 1 tan 60 tan 45 1 3 tan 60 tan 45 1 3 . 2. 不 查 表 , 计 算 :(1)tan22+tan23+tan22tan23;(2)t
13、an17tan43+tan17tan30+tan43tan3 0. 解: :(1)原式=tan(22+23)(1-tan22tan23)+tan22tan23 =tan45(1-tan22tan23)+tan22tan23 =1. (2)原式=tan17tan43+tan30(tan17+tan43) =tan17tan43+tan30tan(17+43)(1-tan17tan43) =tan17tan43+tan30tan60(1-tan17tan43) =1. 例 3 若 tan(+)= 2 5 ,tan(- 4 )= 1 4 ,求 tan(+ 4 )的值. 活动: :本例是教材和与差角公
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- 高中数学 第三 三角 恒等 变换 3.2 正切 函数 教案 北师大 必修 420170825262
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