高中数学第三章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数教案苏教版必修420170824328.wps
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1、3.23.2 二倍角的三角函数 整体设计 教学分析 “二倍角的三角函数”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上,进一步研究具有“二 倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的,它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化, 又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具;通过对二倍角的推导知道, 二倍角的内涵是:揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律,通过推导还让学生加深理解 了高中数学由一般到特殊的化归思想;因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要 内容,对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意 义 本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式
2、中 、 关系的特殊情形 时的 简化,让学生在探究中既感到自然、易于接受,还可清晰的知道和角的三角函数与倍角公式的 联系,同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想这一切教师都要放心 地让学生去做因为数学课程标准提出:“要让学生在参与特定的数学活动,在具体情境 中初步认识对象的特征,获得一些体验”所谓体验,从教育的角度看,是一种亲历亲为的活 动,是一种积极参与活动的学习方式让学生亲历经验,不但有助于通过多种活动和探究获取 数学知识,更重要的是学生在体验中能够逐步掌握数学学习的一般规律和方法 三维目标 1通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间 的内
3、在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能 力,从而提高解决问题的能力 2通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明体 会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用使学生进一步掌握 联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能 力 3通过本节学习,引导学生领悟寻找数学规律的方法,培养学生的创新意识,以及善于 发现和勇于探索的科学精神 重点难点 1 教学重点:二倍角三角函数公式的推导及其应用 教学难点:如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式 课时安排
4、2 课时 教学过程 第 1 1 课时 导入新课 思路 1 1.(旧知导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式,并回忆这组公式 的来龙去脉,然后找一个学生把这六个公式写在黑板上教师引导学生:和角公式与差角公式 是可以互相化归的当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为 二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题,请同学们思考一下,应解决哪些问 题呢?由此展开新课 3 思路 2 2.(问题导入)出示问题,让学生计算,若 sin ,( ,),求 sin2,cos2 5 2 的值学生会很容易看出:sin2sin()sincoscossin2sincos, 以此展
5、开新课,并由此展开联想推出其他公式 推进新课 Error! 从两角和的公式中推导出倍角公式,并用公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等 式的证明 活动:学生默写公式 S()、C()、T(),教师打出课件,然后引导学生观察正弦、 余弦的和角公式,提醒学生注意公式中的 、,既然可以是任意角,怎么任意的?你会有 些什么样的奇妙想法呢?并鼓励学生大胆试一试如果学生想到 、 会有相等这个特殊情 况,教师就此进入下一个问题,如果学生没想到这种特殊情况,教师适当点拨进入下一个问题, 然后找一名学生到黑板进行简化,其他学生在自己的坐位上简化;教师再与学生一起订正黑板 的书写,最后学生都不难得出以下式子,鼓
6、励学生尝试一下,对得出的结论给出解释这个过 程教师要舍得花时间,充分地让学生去思考、去探究,并初步地感受二倍角的意义同时开拓 学生的思维空间,为学生将来遇到的 3 或 3 等角的探究附设类比联想的源泉 sin()sincoscossinsin22sincos(S2); cos()coscossinsincos2cos2sin2(C2); 2 tantan 2tan tan() tan2 (T2) 1tantan 1tan2 这时教师适时地向学生指出,我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦、余弦、正切公式, 并指导学生阅读课本,确切明了二倍角的含义,以后的“倍角”专指“二倍角”;点拨学生结 合 s
7、in2cos21 思考,二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式 这时教师指出,这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示),倍角公式是和角公式的特 例倍角公式给出了 的三角函数与 2 的三角函数之间的关系这组公式用途很广,与学 生一起观察公式的特征并记忆,首先公式左边角是右边角的 2 倍;左边是 2 的三角函数的一 次式,右边是 的三角函数的二次式,即左到右升幂缩角,右到左降幂扩角;二倍角的 正弦是单项式,余弦是多项式,正切是分式并引导学生观察思考并初步感性认识到:(1)这 里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去;(2)通过二倍 角公式,可以用单角的三角函数表示二
8、倍角的三角函数;(3)二倍角公式是两角和的三角函数 公式的特殊情况;(4)公式(S2),(C2)中的角 没有限制,都是 R R.但公式(T2)需在 1 k 和 k (kZ Z)时才成立,这一条件限制要引起学生的注意但是当 k 2 4 2 ,kZ Z 时,虽然 tan 不存在,此时不能用此公式,但 tan2 是存在的,故可改用诱导公 2 式 为了让学生明了二倍角的相对性,即二倍角公式不仅限于 2 是 的二倍的形式,其他 3 3 如 4 是 2 的二倍, 是 的二倍,3 是 的二倍, 是 的二倍,3 是 的二倍, 2 4 2 3 6 2 2 2 是 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式 4 例如
9、:sin 2sin cos ,cos cos2 sin2 等等 2 4 4 3 6 6 本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用,这点教师更要提醒学生引起足够的 注意 1 如:sin3cos3 sin6,4sin cos 2(2sin cos )2sin , 2 4 4 4 4 2 2tan40 2tan tan80,cos22sin22cos4,tan2 等等 1tan240 1tan2 3 一般情况下:sin22sin,cos22cos,tan22tan. 若 sin22sin,则 2sincos2sin, 即 sin0 或 cos1,此时 k(kZ Z) 1 3 1 3 若 cos
10、22cos,则 2cos22cos10,即 cos (cos 舍 2 2 去) 2tan 若 tan22tan,则 2tan,tan0,即 k(kZ Z) 1tan2 Error! 思路 1 1 例 1 课本本节例 1. 变式训练 1不查表:求值 sin15cos15. 6 解:原式 sin15cos152 sin2152sin15cos15cos215 . 2 点 评:本题在两角和与差的三角函数的学习中已经解决过,现用二倍角公式给出另外的解法, 让学生体会它们之间的联系,体会数学变化的魅力 1 2若 sin cos ,则 cos2_. 2 2 2 1 答案: 8 x 3函数 f(x)2sin
11、2( )1 是( ) 2 4 A周期为 的奇函数 B周期为 的偶函数 C周期为 2 的奇函数 D周期为 2 的偶函数 答案:C cos2 2 4若 ,则 cossin 的值为( ) 2 sin 4 7 1 A B 2 2 1 C. D. 2 7 2 答案:C 3 5下列各式中,值为 的是( ) 2 4 A2sin15cos15 Bcos215sin215 C2sin2151 Dsin215cos215 答案:B 1sin2cos2 例 2 证明 tan. 1sin2cos2 活动:教师先让学生思考一会,鼓励学生充分发挥自己的聪明才智,战胜它,并力争一题 多解教师可点拨学生想一想,到现在为止,所
12、学的证明三角恒等式的方法大致有几种:从复 杂一端化向简单一端;两边化简,中间碰头;化切为弦;还可以利用分析综合法解决,有时几 种方法会同时使用等对找不到思考方向的学生,教师点出:可否再添加一种,化倍角为单角? 这可否成为证明三角恒等式的一种方法?再适时引导,前面学习同角三角函数的基本关系时曾 “用到 1”“的代换,对 1”“的妙用大家深有体会,这里可否在 1”上做做文章? 待学生探究解决方法后,可找几个学生到黑板书写解答过程,以便对照点评及给学生以启 发点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬;对暂时找不到思路的学生 5 给予点拨、鼓励强调“1”的妙用,妙在它在三角恒等式中一旦出
13、现,在证明过程中就会起 到至关重要的作用,在今后的证题中,万万不要忽视它 证明:方法一: sin21cos2 2sincos112cos2 左边 sin21cos2 2sincos12cos21 sincos1cos2 sincossin2 sincossin tan右 sincoscos2 sincoscos2 cossincos 边 所以原式成立 方法二: sin2cos2sin2sin2cos2 sin22sin2 左边 sin2cos2sin2cos2sin2 sin22cos2 2sinsincos tan右边 2cossincos 方法三: 1sin2cos2 左 边 1sin2c
14、os2 sin2cos22sincoscos2sin2 sin2cos22sincoscos2sin2 sincos2cossincossin sincos2cossincossin sincossincossincos sincos2sin sincossincoscossin sincos2cos tan右边 点评:课本上只给出了一种方法,教学中可引导学生从不同角度观察题目得到不同解法, 以训练应用公式的灵活性以上几种方法大致遵循以下规律:首先从复杂端化向简单端;第二, 化倍角为单角,这是我们今天刚刚学习的;第三,证题中注意对数字的处理,尤其是“1”的 代换的妙用,请同学们在探究中仔细体会
15、这点在这道题中通常用的几种方法都用到了,不论 用哪一种方法,都要思路清晰,书写规范才是 思路 2 2 例 1 求 sin10sin30sin50sin70的值 活动:本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题,有一定难度,但也是训练学生思维能 力的一道好题本题需要公式的逆用,逆用公式的先决条件是认识公式的本质,要善于把表象 的东西拿开,正确捕捉公式的本质属性,以便合理运用公式教学中教师可让学生充分进行讨 论探究,不要轻易告诉学生解法,可适时点拨学生需要做怎样的变化,又需怎样应用二倍角公 6 式并点拨学生结合诱导公式思考学生经过探索发现,如果用诱导公式把10,30,50, 70正弦的积化为 20,4
16、0,60,80余弦的积,其中 60是特殊角,很容易发现 40 是 20的 2 倍,80是 40的 2 倍,故可考虑逆用二倍角公式 23sin20cos20cos40cos80 解 : 原 式 cos80cos60cos40cos20 232sin20 sin160 sin20 1 . 16sin20 16sin20 16 点 评:二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一,又是解答许多数学问题的重要模型和 工具,具有灵活多变,技巧性强的特点,要注意在训练中细心体会其变化规律 4 2 在ABC 中,cosA ,tanB2,求 tan(2A2B)的值 5 活动:此题结合三角形,具有一定的综合性,同时也
17、是和与差公式的应用问题教师可引 导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如 ABC(0A, 0B,0C),就是其中的一个隐含条件可先让学生讨论探究,教师适时点拨学生探 究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系由于对 2A2B 与 A,B 之 间关系的看法不同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法,不过它们都是对倍角 公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别不论学生的解答正确与否,教师都不要直接干 预在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生一起比较各种不同的解法,并引导学生进行解 题方法的归纳总结基础较好的班级还可以把求 tan(2A2B)的值改为求 t
18、an2C的值 4 解:方法一: 在ABC 中,由 cosA ,0A,得 5 4 3 sinA 1cos2A 1 2 , 5 5 3 2 sinA 3 5 3 2tanA 4 24 所以 tanA ,tan2A . cosA 5 4 4 1tan2A 3 7 1 2 4 2tanB 2 2 4 又 tanB2,所以 tan2B . 1tan2B 122 3 24 4 tan2Atan2B 7 3 44 于是 tan(2A2B) . 1tan2Atan2B 24 4 117 1 7 3 4 4 3 方法二:在ABC 中,由 cosA ,0A,得 sinA 1cos2A 1 2 . 5 5 5 7
19、3 2 sinA 3 5 3 tanAtanB 4 所以 tanA .又 tanB2,所以 tan(AB) cosA 5 4 4 1tanAtanB 3 1 2 4 11 2 11 2tanAB 2 44 .于是 tan(2A2B)tan2(AB) . 2 1tan2AB 11 117 1 2 2 点 评:以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是 为了鼓励学生用不同的思路去思考,以拓展学生的视野. 变式训练 1cos4sin4 化简: . 1cos4sin4 2cos222sin2cos2 2cos2cos2sin2 解 : 原 式 2sin222sin2cos
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- 高中数学 第三 三角 恒等 变换 3.2 二倍 三角函数 教案 苏教版 必修 420170824328
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