s第04章晶格振动2011.ppt
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1、晶格振动:晶体中的原子在格点附近作热振动,第四章 晶格振动和晶体热学性质,如何处理晶体中原子的振动?,晶格动力学(经典理论):原子的振动以波的形式(称为格波)在晶体中传播,有多少个基本的振动频率(模式数量)、波动的频率和波数的关系(色散关系),晶格振动的量子理论:原子振动的粒子形式(声子),应用:晶体的热容量,4.1 一维单原子链的振动,原子链共有N个原胞,每个原胞只有一个原子,每个原子具有相同的质量m,平衡时原子间距等于晶格常数a,原子沿链方向运动,第n个原子离开平衡位置的位移用un表示,第n个原子和第n+1个原子间的相对位移为,原子振动时,相邻两个原子之间的间距,一维单原子链,平衡时原子位
2、于Bravais格点上,1、基本假设,原子围绕平衡位置作微振动,简谐近似:原子间的相互作用势能只考虑到平方项,此时,两原子间的相互作用势能可表示为:,称为原子间恢复力常数,弹性力,在简谐近似下相邻两个原子间的作用力:,第n个原子受到的作用力为:,一维原子链的振动模型:被一个个弹簧连接起来的一串质量为m的球,2、一维单原子链的运动方程,只考虑相邻原子的作用,第n个原子受到的作用力:,第n个原子的运动方程为,对于N个原子有N个完全类似的运动方程,运动方程为二阶常微分方程,3、运动方程的解,设方程的特解为:,q:波矢,大小等于 ,方向为波传播的方向 qna:第n个原子相对于参考点的位相差 qa:相邻
3、原子的位相差,t时刻原点处原子相对于平衡点的偏移,特解具有波动形式(用波矢为q、频率为的简谐波来描述原子离开平衡位置的振动),为了确定色散关系,把试探解带入运动方程得:,振动频率与n无关,色散关系对所有原子都相同,4、一维单原子链的色散关系,和q之间的关系称为色散关系,原子的振动以波的形式在晶体中传播,这种波称为格波。一个格波表示晶体中所有原子一起参与的共同振动。在简谐近似下,格波为平面波。,5、波矢q的取值范围,波矢q和,描述同样的振动状态:,为了保证xn的单值性,把q限制在,格波q的不唯一性的图示,6、周期性边界条件,波恩卡门边界条件:将许多完全相同的原子链首尾连接成无穷长链,从而第N+1
4、个原子就是第1个原子,第N2个原子就是第2个原子,独立波矢的取值范围在第一布里渊区,相差一个或几个倒格矢的波矢描述同样的振动状态,一个布里渊区包含的波矢数目,即对于一维单原子链,晶格振动波矢的数目等于晶体的原胞数,在FBZ,q取分立值,相邻两个波矢的间隔,是q的周期函数:,时,,(具有该特点的格波称为声学波),7、一维单原子链色散关系的特点,波速(相速度),群速,8、格波的波速和群速,布里渊区的中心附近,,波速,为常数,此时格波为弹性波,在布里渊区的边界上,一维单原子链格波的群速度为零:,根据弹性波的理论,波是一个驻波。,一个格波表示整个晶体所有原子都参与的振动,体系所有原子一起参与的共同振动
5、,称为一个振动模。,波矢为q的格波t时刻在第n个原子处产生的位移量:,所有格波在第n个原子处产生的总位移量:,4.2 一维双原子链的振动,晶格常数a ,共有N个原胞,每个原胞有两个原子,质量分别为M1、M2,交替放置形成一维周期结构。链上的原子由其所属的原胞数n及在基元中的序号p1,2来标记。,一维双原子链的结构,如图所示,设A、B两种原子组成一无限的一维周期晶体,画出其晶格的原胞。,基元,仍然采用简谐近似和最近邻近似,原子的运动方程为:,设方程组有如下的格波解:,共有2N个,不同类原子的振幅不同,但以相同的频率振动,1、运动方程和格波解,把试探解带入运动方程,有:,A、B有非零解的条件是上面
6、方程组的系数行列式等于零:,每个波矢对应两个不同的频率,当q变化时,给出两条色散关系,称为两支,频率低的一支(取负号)称为称为声学波,频率高的一支(取正号)称为光学波。,2、色散关系,光学波,声学波,3、一维双原子链色散关系的特征,色散关系是倒格矢量的周期函数:,色散关系分成两支:一支是声学波,一支是光学波,光学波和声学波的频率各有一定的范围。,在声学波最小最高频率和光学波的最小频率之间有一频率间隙,当q0时,声学支的色散关系是线性的,光学支的频率近似为常数,4、声学波和光学波振动的特点,相邻原子振幅之比,声学支,光学支,声学支中,相邻原子的振动方向相同,光学支中,相邻原子的振动方向相反,长波
7、时,,长声学波代表原胞质心的振动,长波时,,长光学波描述原胞内 原子之间的相对运动,双原子链在长波极限(q 0)的振动图像,光学波,在布里渊区边界,声学波:,光学波:,5、振动模式数(频率数),波矢限定在第一布里渊区中,周期性边界条件下,一维双原子链:,晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数,一个波矢对应2个不同的频率,共有2N个振动频率,这2N个振动频率分为2支。,一个原胞中有r个原子,原胞数目,4.3 三维晶格的振动,第L个原胞中第S个原子离开平衡点的位移在坐标轴方向的分量,原子的质量:,第L个原胞中第s个原子运动方程为:,共有3rN,设方程的一个特解为,把试探解代入运动方程,得到以振幅Asa
8、满足的3r个线性齐次联立方程:,它有解的条件是系数行列式等于0。由此可以得到一个2的3r次方程式,从而给出3r个解:,对于一个波矢q,有3r个(即有3r支色散曲线),在3r支色散关系中,当q0时(长波):,有三支 0,且各原子的振幅趋于相同,这三支为声学波。长声学波描述了原胞质心的振动。,其余(3r-3)支有有限的振动频率,为光学波。长光学波描述原胞内原子之间的相对运动。,q的值由周期性边界条件确定:,波矢的取值和波矢空间,把波矢q表示为倒格子空间中的一个矢量:,根据倒格基矢与正格基矢的关系可得,倒格子空间也称为波矢空间,在波矢空间中,许可的q值是一些分立的点,这些点在波矢空间是均匀分布的。,
9、每个点在波矢空间占据的体积为 :,相差一个或几个倒格矢量的波矢描述同样的振动状态,波矢空间中即q的密度为:,独立的波矢位于第一布里渊区,一个布里渊区可能有的q数目,晶格振动波矢的数目=晶体原胞数,(自由度数原子的个数坐标的维数 ),晶格振动频率的数目=晶体内原子的自由度数,一个波矢对应的频率的数目=一个原胞内原子的自由度数,硅的色散关系,L:纵波,T:横波;A:声学波,O:光学波,横波的色散关系总是简并的,格波频谱密度(频率分布函数),格波频谱密度定义为单位频率间隔内振动的频率数,频率数目为,波的群速度,3r支格波:,所以,因为,例题:一维单原子链的频率分布函数,q空间中q点的密度:,的波矢数
10、目为,对应的频率数目为,晶体中原子在格点的微振动,可以用波矢为q、频率为的格波来描述。,总 结,在简谐近似下格波是平面波(简谐波),这些简谐波的存在是相互独立的。一个简谐波表示晶体中所有原子一起参与的共同振动。,波矢q并不是任意的。在周期性边界条件的限制下,波矢只能取一系列分立的值。独立的波矢q位于第一布里渊区,晶格振动波矢的数目等于晶体的原胞数。,根据色散关系在长波时的特征,3r支格波分成3支光学波,3r-3支声学波,光学波和声学波的频率各有一定的范围,长声学波长描述了不同原胞之间的相对运动,而长光学波描述了原胞内不同原子之间的相对运动,频率和波矢之间的关系称为色散关系。格波的色散关系在波矢
11、空间具有倒格子的周期性和反演对称性,4.4 晶格振动的量子化、声子,以一维单原子链为例,一维单原子链的哈密顿量为:,哈密顿量有交叉项,即用原子的位移坐标描写时,位移之间是相互耦合的,不便于量子力学处理。,有没有更好的办法来描写这种振动?,采用简正坐标来描写原子的振动:寻求一适当的正交变换,将原子坐标转化为一组新的坐标,使哈密顿量无交叉项。,波矢为q的格波t时刻在第n个原子处产生的位移量:,所有格波在第n个原子处产生的总位移量:,把上式变换为如下形式,就是简正坐标!,可以证明,经过上式变换后,哈密顿量为:,式中,所以,可以证明,动量,因此体系的哈密顿量可表示为,为一个谐振子的能量!,H包含N项,
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