高中数学第三章导数应用3.2导数在实际问题中的应用教案3北师大版选修2_220170927368.wps
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1、导数的实际应用(三) 一、教学目标: 1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用; 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。 二、教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题 教学难点:利用导数解决生活中的一些优化问题 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问 题通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具这一节,我们利用 导数,解决一些生活中的优化问题 (二)、新课探究 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下
2、几个方 面: 1、与几何有关的最值问题;2、与物理学有关的最值问题;3、与利润及其成本有关的最值问 题; 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并 确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关 系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一 个有力的工具 利用导数解决优化问题的基本思路: 用函数表示的数学问题 优化问题 建立数学模型 解决数学模型 作答 优化问题的答案 用导数解决数学问题 (三)、典例分析 - 1 - 例 1 1、磁盘的最大存储量问题 计算机把
3、数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成磁道和 扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上 的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1,这个基本单元通常 被称为比特(bit)。 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特所占用的磁道长度不得小于 n 。 为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域 (1)是不是 r 越小,磁盘的存储量越大?(2) r 为多少时,磁盘具有最大存储量(最
4、外面的 磁道不存储任何信息)? 解:由题意知:存储量=磁道数每磁道的比特数。 设存储区的半径介于 r 与 R 之间,由于磁道之间的宽度必需大于 m ,且最外面的磁道不存 R r 储任何信息,故磁道数最多可达 。由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存储量, m 2r 最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达 。所以,磁盘总存储量 n f r R r ( ) r(R r) 2r 2 m n mn (1)它是一个关于 r 的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是 r 越小,磁盘的存储量 越大 (2)为求 f (r) 的最大值,计算 f (r) 0 f (r) 2 R 2r mn 令 f (r
5、) 0,解得 R r 当 2 R r 时, f (r) 0;当 2 R r 时, f (r) 0 2 因此 R r 时,磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 2 2 mn R 2 4 例 2 2、汽油的使用效率何时最高 我们知道,汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h)之间有一定的关系, 汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数根据你的生活经验,思考下面两个问题: (1)是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大?(2“) 汽油的使用率最高”的含义是什么? 分析:研究汽油的使用效率(单位:L/m)就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值如果 用G 表示每千米平均的汽油消耗量
6、,那么G w ,其中, w 表示汽油消耗量(单位:L), s s - 2 - 表示汽油行驶的路程(单位:km)这样,求“每千米路程的汽油消耗量最少”,就是求G 的 最小值的问题 通过大量的统计数据,并对数据进行分析、研究,人们发现,汽车在行驶过程中,汽油平 均消耗率 g (即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度 v (单位:km/h) 之间有如图所示的函数关系 g f v 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题因此,我们首先需要将问题转化为汽油平 均消耗率 g (即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度 v (单位:km/h) 之间关系的问题,然后利用图像中
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