高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.1向量的加法教案北师大版必修420170.wps
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1、2.2.12.2.1 向量的加法 整体设计 教学分析 向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,其主要内容是运用向量的定义 和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结 合律进行证明.同时运用它们进行相关计算,这可让学生进一步加强对向量几何意义的理解,也 为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握 了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道 位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法 则,这为本课题的引入提供了较好的条件.
2、 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强 化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行 和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想.而在猜测向量加法的运算律时,通过 引导学生利用实数加法的运算律进行类比,则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类 比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引 入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察 一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算. 向
3、量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引 入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于 向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生 体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.因此 本节的主要思想方法是类比思想、数形结合思想等. 三维目标 1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练 地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量. 2.在探究活动中,理解向量加法满足交换律和结
4、合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特 殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等. 3.通过本节内容的学习,使学生认识事物之间的相互转化,培养学生的数学应用意识,体会数学 在生活中的作用.培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力,初步体会向量内容与其他知识的交 汇特点. 重点难点 教学重点:向量加法的运算及其几何意义. 教学难点:对向量加法法则定义的理解. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.1.(复习导入)上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零 向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并掌握了这些概念的辨析判断.另外,向量和
5、我 们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节,我们先学习向量的加法. 思路2 2.(问题导入)2004 年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到 上海,这两次位移之和是什么?怎样列出数学式子?一位同学按以下的指令进行活动:向北走 20 米,再向西走 15 米,再向东走 5 米,最后向南走 10米,怎样计算他所在的位置?由此导入新课. 推进新课 1 新知探究 提出问题 数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定义向量 的加法? 猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同? 图 1 活动: :向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学
6、生回顾物理中位移的概念,位移可以合成,如 图 1.在大型生产车间里,一重物被天车从 A 处般运到 B 处,它的实际位移 AB ,可以看作水平运 动的分位移 AC 与竖直向上运动的分位移 AD 的合位移. 由分位移求合位移,称为位移的合成.由物理学知识我们知道,位移合成遵循平行四边形法 则,即 AB 是以 AC,AD为邻边的 ACBD的对角线. 数的加法启发我们,从运算的角度看,AB 可以认为是 AC 与 AD 的和,即位移、力的合成 看作向量的加法. 讨论结果: : 向量加法的定义:如图 2,已知非零向量 a a、b b,在平面内任取一点 A,作 AB =a a,BC =b b,则向量 AC
7、叫作 a a 与 b b 的和,记作 a a+b b,即 a a+b b=AB +BC =AC . 图 2 求两个向量和的运算,叫作向量的加法. 向量加法的法则: 1向量加法的三角形法则 已知向量 a a,b b,在平面内任取一点 A,作 AB =a a,BC =b b,再作向量 AC ,则向量 AC 叫作向量 a a 与 b b 的和,这种求向量和的作图方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意 “”首尾相接 ,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二 个向量的终点的向量即为和向量,如图 2. 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型. 向量求和
8、的三角形法则,可推广至多个向量求和的多边形法则:n个向量经过平移,顺次使 前一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成一向量折线,这 n 个向量的和等于折线起点 到终点的向量,即A + 0 A A A 1 1 2 A n 1 A A A n . 0 n 2向量加法的平行四边形法则 2 图 3 如图 3,以同一点 O 为起点的两个已知向量 a a、b b 为邻边作平行四边形,则以 O 为起点的对角线 OC 就是 a a 与 b b 的和.我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则. 力的合成可以看作向量加法的物理模型. 提出问题 对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢? 两共
9、线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的 加法有什么关系? 思考|a a+b b|,|a a|,|b b|存在着怎样的关系? 数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算 律呢? 活动: :观察实际例子,教师启发学生思考,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运 算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意 a a,b bR,R,有 a a+b b=b b+a a,(a a+b b)+c=a a+(b b+c).任意向量 a a,b b 的加法是否也满足交换律和结合律?引导学生画图
10、进 行探索. 讨论结果: : 对于零向量与任一向量,我们规定 a a+0 0=0 0+a a=a a. 两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍 是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段. 当 a a,b b 不共线时,|a a+b b|a a|+|b b|(即三角形两边之和大于第三边); 当 a a,b b 共线且方向相同时,|a a+b b|=|a a|+|b b|; 当 a a,b b 共线且方向相反时,|a a+b b|a a|-|b b|(或|b b|-|a a|),其中当向量 a a 的长度大于向量 b b 的长度 时,|a a+b b|=|
11、a a|b b|;当向量 a a 的长度小于向量 b b 的长度时,|a a+b b|=|b b|a a|. 一般地,我们有|a a+b b|a a|+|b b 图 4 如图 4,作 AB =a a,AD =b b 以 AB、AD 为邻边作 ABCD,则 BC =b b,DC =a a. 因为 AC =AB +AD =a a+b b,AC =+DC = b b+a,a,所以 a a+b b=b b+a a. 图 5 如图 5,因为 AD =AC +CD =(AB +BC )+CD =(a a+b b)+c c, 3 AD =AB +BD =AB +(BC +CD )=a a+(b b+c c)
12、,所以(a a+b b)+c c=a a+(b b+c c). 综上所述,向量的加法满足交换律和结合律. 应用示例 思路 1 1 例 1 如图 6,已知向量 a a、b b,求作向量 a a+b b. 活动: :教师引导学生,让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量 的和向量.在向量加法的作图中,学生体会作法中在平面内任取一点 O 的依据它体现了向 量起点的任意性.在向量作图时,一般都需要进行向量的平移,用平行四边形法则作图时应强调 向量的起点放在一起,而用三角形法则作图则要求首尾相连. 图 6 图 7 图 8 解: :作法一:在平面内任取一点 O(如图 7),作OA=a
13、 a,AB =b b,则OB =a a+b b. 作法二:在平面内任取一点 O(如图 8),作OA=a a,=b b.以 OA、OB 为邻边作 OACB,连结 OC,则OC =a a+b b. 变式训练 化简:(1)BC +AB ;(2)DB CD BC ;(3)AB +DF CD BC FA 活动: :根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接,再运用向量加法的结合律调整运算顺序, 然后相加. 解: :(1)BC +AB =AB +BC =AC . (2)DB CD BC BC CD DB =(BC CD) DB BD DB =0 0. (3)AB +DF +CD +BC +FA =AB +B
14、C +CD +DF +FA =AC +CD +DF +FA =AD +DF +FA =AF +FA =0 0. 点评: :要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量. 例 2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图 9 所示,一艘船从长江南岸 A 点出发,以 5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字); (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度). 图 9 图 10 活动: :本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用.这样的问
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