高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.2向量的减法教案北师大版必修420170.wps
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1、2.2.22.2.2 向量的减法 整体设计 教学分析 向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向 量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量 的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的 三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量 的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、 相互联系的辩证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物 理学科之间的联系,提高学生的应用
2、意识. 三维目标 1.通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握 相反向量. 2.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟练 地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量. 重点难点 教学重点:向量的减法运算及其几何意义. 教学难点:对向量减法定义的理解. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向 量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法 是否也有类似的法则呢?引导学生进一
3、步探究,由此展开新课. 思路 2.2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运 算减法.引导学生去探究、发现. 推进新课 新知探究 提出问题 向量是否有减法? 向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念? 如何理解向量的减法? 向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则? 活动: :数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的 相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可 定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也
4、应引进一个 新的概念,这个概念又该如何定义? 引导学生思考,相反向量有哪些性质? 由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此 a a 和-a a 互为相反向量. 于是-(-a a)=a a. 我们规定,零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量,即 a a+(-a a)=(-a a)+a a=0 0. 1 所以,如果 a a、b b 是互为相反的向量,那么 a a=-b b,b b=-a a,a a+b b=0.0. (1)平行四边形法则 图 1 如图 1,设向量 AB =b b,AC =a a,则 AD =-b b,由向量减法的定义,知 AE =a a+(-b b)=a a-
5、b b. 又 b b+BC =a a,所以 BC =a a-b b. 由此,我们得到 a a-b b 的作图方法. (2)三角形法则 图 2 如图 2,已知 a a、b b,在平面内任取一点 O,作OA=a a,OB =b b,则 BA =a a-b b,即 a a-b b 可以表示为从 b b 的终点指向 a a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义. 讨论结果: : 向量也有减法运算. 定义向量减法运算之前,应先引进相反向量. 与数 x 的相反数是-x类似,我们规定,与 a a 长度相等,方向相反的量,叫作 a a 的相反向量,记作 -a.a. 向量减法的定义.我们定义 a a-b b=a
6、 a+(-b b), 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 规定:零向量的相反向量是零向量. 向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是 数形结合思想的重要体现. 提出问题 上图中,如果从 a a 的终点到 b b 的终点作向量,那么所得向量是什么? 改变上图中向量 a a、b b 的方向使 a ab b,怎样作出 a a-b b 呢? 讨论结果: AB =b b-a a. 略. 应用示例 思路 1 1 例 1 如图 3,已知向量 a a,b b,c c,求作向量 a a-b b+c c. 2 图 3 活动: :教师让学生亲自动手操作,引导学生注
7、意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生 根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量. 解: :在平面上任取一点 O,作OA=a a,OB =b b,则 BA =a a-b b. 再作 BC =c c,并以 BA、BC为邻边作 BADC, 则 BD =BA +BC =a a-b b+c c(如图 4). 图 4 变式训练 (2006 上海高考)在 ABCD中,下列结论中错误的是( ) A.AB =DC B.AD +AB =AC C.AB -AD =BD D.AD +BC =0 0 解析: :A 显然正确,由平行四边形法则,可知 B 正确,C中,AB -AD =BD 错误,D
8、 中,AD +BC = AD +DA =0 0 正确. 答案:C 2.如图 5,ABCD中,AB =a a,AD =b b,你能用 a a、b b 表示向量 AC 、 DB 吗? 图 5 活动: :本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注 意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系. 解: :由向量加法的平行四边形法则,我们知道 AC =a a+b b, 同样,由向量的减法,知 DB =AB -AD =a a-b b. 变式训练 1.(2005 高考模拟) 已知一点 O 到 ABCD 的 3 个顶点 A、B、C 的向量分别是
9、a a、b b、c c,则向 量OD 等于( ) 3 图 6 A.a a+b b+c c B.a a-b b+c c C.a a+b b-c c D.a a-b b-c c 解析: :如图 6,点 O 到平行四边形的三个顶点 A、B、C 的向量分别是 a a、b b、c c,结合图形有OD =OA +AD =OA+BC =OA+OC -OB =a a-b b+c c. 答案: :B 2.若 AC =a a+b b,DB =a a-b b. 当 a a、b b 满足什么条件时,a a+b b 与 a a-b b 垂直? 当 a a、b b 满足什么条件时,|a a+b b|=|a a-b b|?
10、 当 a a、b b 满足什么条件时,a a+b b 平分 a a 与 b b 所夹的角? a a+b b 与 a a-b b 可能是相等向量吗? 图 7 解析: :如图 7,用向量构建平行四边形,其中向量 AC 、 DB 恰为平行四边形的对角线. 由平行四边形法则,得 AC =a a+b b,DB =AB -AD =a a-b b. 由此问题就可转换为: 当边 AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直?(|a a|=|b b|) 当边 AB、AD满足什么条件时,对角线相等?(a a、b b 互相垂直) 当边 AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角?(a a、b b 相等) a a+b b
11、与 B-b b 可能是相等向量吗?(不可能,因为对角线方向不同) 点评: :灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题 时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力 与魅力,教师引导学生注意领悟. 思路 2 2 例 1 判断题: (1)若非零向量 a a 与 b b 的方向相同或相反,则 a a+b b 的方向必与 a a、b b 之一的方向相同. (2)ABC 中,必有 AB+BC +CA =0 0. (3)若 AB+BC +CA =0 0,则 A、B、C 三点是一个三角形的三顶点. (4)|a a+b b|a a-
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