高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.1数乘向量优化训练北师大版必修420170.wps
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1、2.32.3 从速度的倍数到数乘向量 2.3.12.3.1 数乘向量 5 5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.下列等式中不正确的是( ) A.AB +BC +CA =0 B.AB -AC =CB C.0 0AB =0 D.(a a)=a a 解析:选项 A 说明首尾相连的向量之和为 0,还可推广到 n 个向量首尾相连.对零向量的运算 有明确规定,另外运算律也要熟练掌握. 0 0AB 0. 答案:C 2.化简:(1)5(3a a-2b b)+4(2b b-3a a); (2)6(a a-3b b+c c)-4(-a a+b b-c c); (3)(x-y)(a a+b b)-(x-y)(
2、a a-b b); (4) (a-b). 解:(1)5(3a a-2b b)+4(2b b-3a a)=15a a-10b b+8b b-12a a=3a a-2b b; 1 3 (a+2b)+ 1 4 (3a-2b)- 1 2 (2)6(a a-3b b+c c)-4(-a a+b b-c c)=6a a-18b b+6c c+4a a-4b b+4c c=10a a-22b b+10c c; (3)(x-y)(a a+b b)-(x-y)(a a-b b)=xa a+xb b-ya a-yb b-xa a+xb b+ya a-yb b=2(x-y)b b; (4 ) 1 3 (a a+2b
3、 b) + 1 4 (3a a- 2b b)- 1 2 (a a- b b)=( 1 3 ) a a+( 1 3 4 2 2 1 1 )b b= 7 3 2 2 12 a a + 2 3 b b . 3.已知两个非零向量 a a、b b,试作OA=a a+b b,OB =a a+2b b,OC =a a+3b b.你能判断 A、B、C 三点之 间的位置关系吗?为什么? 解:分别作向量OA、OB 、OD ,过点 A、C 作直线 AC,观察发现,不论向量 a a、b b 怎样变化, 点 B 始终在直线 AC上,猜想 A、B、C 三点共线. 事实上,因为 AB =OD -OB =a a+3b b-(
4、a a+2b b)=b b, 而 AC =OD -OA=a a+3b b-(a a+b b)=2b b, 于是 AC =2AB , 所以,A、B、C 三点共线. 1010分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.已知菱形的两邻边OA=a a,OB =b b,其对角线交点为 D,则OD 等于( ) A. 1 2 a a+b b B.a a+ 1 2 b b C. 1 2 (a a+b b) D.a a+b b 解析:由平行四边形法则及平行四边形的性质可得出答案. 答案:C 2.已知四边形 ABCD是菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括 A、C 点),则 AP 等于( ) 1 A.( AB +A
5、D ),(0,1) B.( AB +BC ),(0, 2 2 ) C.( AB -AD ),(0,1) D.( AB -BC ),(0, 2 2 ) 解析:由题意,知 AC =AB +AD ,又点 P 在 AC 上,故存在实数 (0,1)使 AP = AC . 答案:A 3.若 3m m+2n n=a a,m m-3n n=b b,其中 a a、b b 是已知向量,求 m m、n n. 解:3m m+2n n=a a, m m-3n n=b b, 3,得 3m m-9n n=3b b. -,得 11n n=a a-3b b. 1 . 3 n n= a b 11 11 3 2 . 将代入得 m
6、m=b b+3n n= a b 11 11 4.在平行四边形 ABCD中, AC =a a, BD =b b,求 AB 、 AD . 解法一:利用平行四边形的性质得 AO = 1 2 AC = 1 2 a a, BO = 1 2 BD = 1 2 b b. AB =AO +OB =AO -BO , AB = 1 2 a a- 1 2 b b. 又 AD =AO +OD ,OD = 1 2 BD , AD = 1 2 a a+ 1 2 b b. 解法二:将 AB 、 AD 视为未知量,由向量的加法、减法得: AB +BC =AC , AD -AB =BD . 两式相加得 2AD =AC +BD
7、, AD = 1 2 AC + 1 2 BD = 1 2 a a+ 1 2 b b. 两式相减得 2AB =AC -BD , AB = 1 2 AC - 1 2 BD = 1 2 a a- 1 2 b b. 5.用向量方法证明:三角形两边中点连线平行于第三边,且其长度等于第三边长度的一半. 2 证明:如图,已知ABC 中,D、E 分别是边 AB、AC的中点.求证:DEBC,且 DE= BC 2 . D、E 分别是边 AB、AC的中点, 1 1 AD = AB , AE = AC . 2 2 1 1 DE =AE -AD = ( AC -AB )= BC . 2 2 BC 又 D 不在 BC上,
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