高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.2平面向量基本定理教案北师大版必修4201.wps
《高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.2平面向量基本定理教案北师大版必修4201.wps》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.2平面向量基本定理教案北师大版必修4201.wps(13页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、2.3.22.3.2 平面向量基本定理 整体设计 教学分析 平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面 内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起, 那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也 就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定 理的一个原因. 三维目标 1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理. 2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际 问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选
2、取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 重点难点 教学重点:平面向量基本定理. 教学难点:平面向量基本定理的运用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路1.1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解 的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到 向量中来,会产生什么样的结论呢?又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力 G G,可分 解为使物体沿斜面下滑的力 F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力 F F2.我们知道飞机在起飞时 若沿仰角 的方向起飞的速度为 v v,可分解为沿水平方向的速度 v vcos
3、和沿竖直方向的速度 v vsin.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在 两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果 e e1、e e2是同一平面内 的两个不共线的向量,a a.是这一平面内的任一向量,那么 a a 与 e e1、e e2之间有什么关系呢?在不共 线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量 正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底, 是否会给我们带来更方便的研究呢? 思 路2.2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一 起,那么
4、平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表 示呢?这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑 板上给出图像进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任 意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论? 推进新课 新知探究 提出问题 给定平面内任意两个不共线的非零向量 e e1、e e2,请你作出向量 3e e1+2e e2、e e1-2e e2.平面内的任一 向量是否都可以用形如 1e e1+2e e2的向量表示呢? 图 1 1 如图 1,设 e e1、e e2是同一平
5、面内两个不共线的向量,A.是这一平面内的任一向量,我们通过作 图研究 a a 与 e e1、e e2之间的关系. 活动:如图 1,在平面内任取一点 O,作 OA =e e1,OB =e e2,OC =a a过点 C 作平行于直线 OB 的直线, 与直线 OA.交于点 M;过点 C 作平行于直线 OA.的直线,与直线 OB 交于点 N.由向量的线性运算性 质 可 知 , 存 在 实 数 1 、 2, 使 得 OM =1e e1,ON =2e e2. 由 于 OC =OM +ON , 所 以 a a=1e e1+2e e2.也就是说,任一向量 a a.都可以表示成 1e e1+2e e2的形式.
6、由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量 e e1、e e2表示 出来.当 e e1、e e2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的 方便. 由此可得:平面向量基本定理: 如果 e e1、e e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a a,有且只有 一对实数 1、2,使 a a.=1e e1+2e e2. 定理说明:(1)我们把不共线向量 e e1、e e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不唯一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量 a a.在给出基底 e e1、e e2的条件下进行分解;
7、 (4)基底给定时,分解形式唯一. 讨论结果:可以. a a=1e e1+2e e2. 提出问题 平面中的任意两个向量之间存在夹角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗? 对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示? 活动:教师引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样 的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对 回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向 量的夹角,我们规定: 图 2 已知两个非零向量 a a 和 b b(如图 2),作 OA =a a,OB =b
8、b,则AOB=(0180)叫作向 量 a a.与 b b 的夹角. 显然,当 =0时,a a.与 b b 同向;当 =180时,a a.与 b b 反向.因此,两非零向量的夹角在区 间0,180内. 如果 a a 与 b b 的夹角是 90,我们说 a a.与 b b 垂直,记作 a a.b b. 由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量 a a.,均可以分解为不共线的两个向量 1a a1 和 2a a2,使 a a=1a a1+2a a2. 在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量, 叫作把向量正交分解.如上,重力 G G 沿互相垂直的两个方向分解就是正
9、交分解,正交分解是向量 分解中常见的一种情形. 2 在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便. 讨论结果: 存在夹角且两个非零向量的夹角在区间0,180内;向量与直线的夹角不一 样. 可以. 应用示例 思路 1 1 例 1 如图 3, ABCD 中, AB =a a.,AD =b b,H、M 是 AD、DC 之中点,F使 BF= 1 3 BC,以 a a.,b b 为基底 分解向量 AM 与 HF 图 3 活动: :教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生 到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过
10、程的同学给 予提示和鼓励. 解: :由 H、M、F 所在位置,有 AM = AD + DM = AD + 1 2 DC = AD + 1 2 AB =b b+ 1 2 a a HF =AF - AH = AB +BF - AH = AB + 1 BC - 3 1 2 AD = AB + 1 3 AD - 1 2 AD =a a- 1 6 b b 点评: :以 a a.、b b 为基底分解向量 AM 与 HF ,实为用 a a.与 b b 表示向量 AM 与 HF . 变式训练 已知向量 e e1、e e2(如图 4),求作向量-2.5e e1+3e e2. 图 4 作法: :(1)如图,任取一
11、点 O,作 OA =-2.5e e1,OB =3e e2. (2)作 OACB. 故 OC 就是求作的向量. 例 2 如图 5,质量为 10kg 的物体 a a.沿倾角 =30的斜面匀速下滑,求物体受到的滑动摩擦力 和支持力.(g=10m/s2) 3 图 5 解: :物体受到三个力:重力 AG ,斜面支持力 AN ,滑动摩擦力 AM .把重力 AG 分解为平行于 斜面的分力 AF 和垂直于斜面的分力 AE .因为物体做匀速运动,所以 AN =-AE , AM =-AF . 因为|AG |=10(kg)10(m/s2)=100(N), | AF |=|AG |sin30=100 1 2 =50(
12、N), | AE |=|AG |cos30=100 3 2 =50 3 (N), 所以| AM |=|AF |=50N,|AN |=|AE |=50 3 N. 答:物体所受滑动摩擦力大小为 50N,方向与斜面平行向上;所受斜面支持力大小为 50 3 N, 方向与斜面垂直向上. 例 3 下面三种说法: 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;一个平面 内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底; 零向量不可以作为基底中的向量,其 中正确的说法是( ) A B. C. D. 活动: :这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向 量基本定理的真正内
13、涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内 的两个不共线的向量都可以作为基底. 解析: :平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所 有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所 述, 正确. 答案:B 点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解. 变式训练 (2007 上海春季高考,13) 如图 6,平面内的两条相交直线 OP 和 1 OP 将该平面分割成四个部 2 分 、 、(不包括边界).若 OP =a a. OP +b bOP ,且点 P落在第部分,则实数 a a.、b b 满 1 2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第二 平面 向量 2.3 速度 倍数 到数乘 基本 定理 教案 北师大 必修 4201
链接地址:https://www.31doc.com/p-2895035.html