高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.2平面向量基本定理优化训练北师大版必修42.wps
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1、2.3.22.3.2 平面向量基本定理 5 5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.下面三种说法:一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底; 一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底;零向量不可作为基 底中的向量,其中正确的说法是( ) A. B. C. D. 解 析:根据平面向量基本定理可以进行判断.平面内向量的基底不唯一,在同一平面内任何一组 不共线的向量都可以作为平面内所有向量的基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量 不可作为基底中的向量.综上所述,正确. 答案:B 2.设 O 是平行四边形 ABCD两对角线的交点,下列向量组: AD
2、与 AB ; DA 与 BC ;CA 与 DC ;OD 与OB ,其中可作为这个平行四边形所在平面内表示它的所有向量的基底的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 : AD 与 AB 不 共 线 ,DA=-BC,DABC,DA 与 BC 共 线 ,CA 与 DC 不 共 线,OD=-OB,ODOB,OD与 OB 共线.由平面向量基底的概念知可构成平面内所有向量的基 底. 答案:B 3.想一想,e e1、e e2不共线,e e1、e e2中能否有零向量?a 与 e e1、e e2的关系可能有几种情况? 解析:e e1、e e2不共线,则 e e10 且 e e20. (1)a a 与 e e
3、1共线,则有且只有一个 1,使 a a=1e e1; (2)a a 与 e e2共线,则有且只有一个 2,使 a a=2e e2; (3)a a 与 e e1、e e2都共线,则 a a=0; (4)a a 与 e e1、e e2都不共线,a a 能用 e e1、e e2表示,解法如下: OM 与OA共线,则有且只有一个 1,使OM =1e1. ON 与OB 共线,则有且只有一个 2,使ON =2e2,则 a a=OM +ON =1e1+2e2. 4. 如图 2-3-3,已知OAB,其中OA=a a,OB =b b,M、N 分别是边OA、OB 上的点,且OM = 1 3 a a,ON = 1
4、2 b b.设 AN 与 BM 相交于 P,用向量 a a、b b 表示OP . 1 图 2-3-3 解:OP =OM +MP ,OP =ON +NP . 设 MP =mMB , NP =nNA,则 1 1 OP =OM +mMB = a a+m(b b- a a) 3 3 1 = (1-m)a a+mb b, 3 1 1 OP =ON +nNA= b b+n(a a- b b) 2 2 1 = (1-n)b b+na a. 2 a a、b b 不共线, 1 1 (1 m) , n, n 3 5 解得 1 2 (1 n) m. m . 5 2 OP = 1 5 a a+ 2 5 b b. 10
5、10分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.向量OA、OB 、OC 的终点 A、B、C 在一条直线上,且 AC =-3CB .设OA=p p,OB =q q,OC =r r,则下列等式成立的是( ) 1 3 A.r r= p q B.r r=-p p+2q q 2 2 3 D.r r=-q q+2p p 1 C.r r= p q 2 2 解析:由 AC =-3CB ,得OD -OA=-3(OB -OD ), 1 即 2OD =-OA+3OB ,OD = OA+ 2 答案:A 3 2 1 3 OB ,即 r= p q . 2 2 2.设一直线上三点 A、B、P 满足 AP = PB (1),O
6、是空间一点,则OP 用OA、OB 表示 为( ) A.OP =OA+OB B.OP =OA+(1-)OB 2 C.OP = OA 1 OB 1 1 D.OP OA OB 1 解析:由 AP = PB (1)得OP -OA=(OB -OP ),即OP = OA 1 OB . 答案:C 3.如图 2-3-4,四边形 ABCD为矩形,且 AD=2AB,又ADE 为等腰直角三角形,F 为 ED中点, EA =e e1, EF =e e2.以 e e1、e e2为基底,表示向量 AF 、 AB 、 AD 及 BD . 图 2-3-4 解: EA =e e1, EF =e e2, AF =e e2-e e
7、1. 依题意有 AD=2AB=DE,且 F 为 ED中点, 四边形 ABDF为平行四边形. BD =AF =e e2-e e1, AB =EF =e e2. AD =AF +AB =e e2-e e1+e e2=2e e2-e e1. 4.如图 2-3-5,在平行四边形 ABCD中,M、N 分别为 DC、BC的中点,已知 AM =c c, AN =d d, 试用 c c、d d 表示 AB 和 AD . 图 2-3-5 解:设 AB =a a, AD =b b, 1 则由 M、N 分别为 DC、BC 的中点可得 BN = b 2 从ABN 和ADM 中可得 1 , DM = a 2 . 1 1
8、 a a+ b b=d d,b b+ a a=c c. 2 2 2 解得 a a= (2d d-c c),b b= 3 2 3 (2c c-d d), 3 即 AB = 2 3 (2d d-c c),AD = 2 3 (2c c-d d). 5.证明三角形的三条中线交于一点. 证明:如图,令 AB =a a,AC =b b 为基底. BC =b b-a a,AD = 1 2 a a+ 1 2 b b,BE = 1 2 b b-a a. 设 AD与 BE 交于点 G1,并设 AG1 = AD ,BG1 = BE , 则有 CG =AG -AC = a b b 1 1 2 2 CG =BG -BC
9、 =a b a b , 1 1 2 2 = a b 2 2 , 2 1 2 2 , 2 设 AD与 CF 交于点 G2,同理,可得 AG2 = 2 3 AD . G1与 G2重合,也就是说 AD、BE、CF 相交于同一点. 三角形的三条中线交于一点. 3030分钟训练(巩固类训练,可用于课后) 1.e e1 和 e e2 表示平面内所有向量的一组基底,则下面的四组向量中,不能作一组基底的是 ( ) A.e e1+e e2和 e e1-e e2 B.3e e1-2e e2和 4e e2-6e e1 C.e e1+3e e2和 e e2+3e e1 D.e e2和 e e1+e e2 1 解析:3
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