高中数学第二章平面向量2.3向量的坐标表示导学案苏教版必修420170824345.wps
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1、2.32.3 向量的坐标表示 课堂导学 三点剖析 1.平面向量基本定理的理解与应用 【例 1】已知 A(1,-2)、B(2,1)、C(3,2)和 D(-2,3), 以 AB 、 AC 为一组基底来表 示 AD +BD +CD . 思路分析:本题主要考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数 法等知识.求解时首先由点 A、B、C、D 的坐标求得向量 AB 、 AC 、 AD 、 BD 、CD 等的坐 标,然后根据平面向量基本定理得到等式 AD +BD +CD =mAB +nAC ,再列出关于 m、n 的方程组,进而解方程求出所表示的系数. 解: AB =(1,3), AC
2、=(2,4), AD =(-3,5), BD =(-4,2),CD =(-5,1), AD +BD +CD =(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). 根据平面向量基本定理,一定存在实数 m、n 使得 AD +BD +CD =mAB +nAC , (-12,8)=m(1,3)+n(2,4). 也就是(-12,8)=(m+2n,3m+4n). 可得 m 2n 12, 3m 4n 8. 解得 m 32, n 22. AD +BD +CD =32AB -22AC . 温馨提示 用一组基底 e e1、e e2表示平面内的任何一个向量 a a,应首先根据平面向量基本定理写成: a a=
3、1e e1+2e e2,然后代入各向量的坐标,转化成方程组,解得待定系数 1、2,这就是常用 的待定系数法. 2向量的直角坐标运算法则与对向量平行的应用 【例 2】 平面内给定三个向量 a a=(3,2),b b=(-1,2),c c=(4,1). (1)若(a a+kc c)(2b b-a a).求实数 k 的值. (2)设 d=(x,y)满足(d-c c)(a a+b b)且|d-c c|=1.求 d. 思路分析:(1)将 a a、b b、c c 的坐标代入 a a+kc c 和 2b b-a a 并分别求出其坐标,利用两向量共线的条件即可求得 k 值.(2)利用 d d-c c 与 a
4、a+b b 共线 与|d d-c c|=1 列出两个关于 x、y 的方程,解方程即可. 1 解 : ( 1 ) ( a a+kc c ) (2b b-a a), 又 a a+kc c=(3,2)+k(4,1)=(3,2)+(4k,k)=(3+4k,2+k),2b b-a a=2(-1,2)-(3,2)= (-2,4)-(3,2) =(-5,2).2(3+4k)-(-5)(2+k)=0. k= 16 . 13 (2)d d-c c=(x,y)-(4,1)=(x-4,y-1),a a+b b=(2,4),又(d d-c c)(a a+b b)且|d d-c c|=1, 4( x 4) 2(y 1)
5、 (x 4)2 (y 1) 2 0, 1. 解之得 x y 4 1 2 5 , 5 5 5 x y 或 4 1 2 5 , 5 5 5 . d= ( 20 5 5 5 , 2 5 5 2 0 ) 或 ( 5 5 , 5 2 5 5 ). 温馨提示 向量的加减及实数与向量的积,两向量共线的等价条件、向量的模都可用于列方程求未知 数的值. 【例 3】平面内已知三个点 A(1,-2),B(7,0),C(-5,6).求 AB , AC , AB +AC , AB + 1 2 AC . 思路分析:本题主要涉及向量的坐标运算,代入相应的公式运算即可得. 解:A(1,-2),B(7,0),C(-5,6),
6、AB =(7-1,0+2)=(6,2), AC =(-5-1,6+2)=(-6,8), AB +AC =(6-6,2+8)=(0,10), AB + 1 2 AC =(6,2)+ 1 2 (-6,8)=(6,2)+(-3,4)=(3,6) 温馨提示 对于向量的起点、终点及向量所对应的三组坐标中,可知二求一.对于向量的坐标运算, 均需正确掌握其运算法则. 3.向量坐标形式的综合应用 【例 4】 已知 A(-1,2),B(3,4)连结 A、B 并延长至 P,使|AP|=3|BP|,求 P 点求标. 思路分析:本题主要涉及定比分点坐标公式.首先确定用哪一个点作分点、起点和终点,正确 确定定比 的值,
7、代入公式即可求得 P 点坐标. 2 解:选定 P 为分点,A 为起点,B 为终点,则 P 分 AB 所成的两个向量为 AP 和 PB ,由图可知,AP | AP | 与 PB 方向相反,= 3 . | PB | 由定比分点公式,设 P 点坐标为(x,y).则 x y x x 1 2 1 y y 1 2 1 (1) (3)3 (3) 4 1 2 (3) 1 (3) 5. 5, 所以 P 点坐标为(5,5). 温馨提示 一般地,A、B、P 三点中选哪一个点作起点、分点或终点都可以,但一经确定两点.第三 点也随之确定.虽然对各种情况的定比不同,但计算结果都一样,可根据题目条件恰当选择起 点、分点和终
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